5. Hitinglah $$ \oint_{C} \frac{\ln z}{(z-4)^{3}} $$, dengan $$ C:|z-5|=3 $$, berorientasi positif

Question

UpStudy AI · Accepted Answer

Untuk menyelesaikan integral kontur $$ \oint_{C} \frac{\ln z}{(z-4)^{3}} $$ dengan $$ C: |z-5|=3 $$, kita perlu menganalisis singularitas dari fungsi integrand dan menggunakan Teorema Residue.

### Langkah 1: Identifikasi Singularitas
Fungsi $$ \frac{\ln z}{(z-4)^{3}} $$ memiliki singularitas di $$ z = 4 $$ karena penyebutnya menjadi nol. Kita juga perlu memastikan bahwa $$ z = 4 $$ berada di dalam kontur $$ C $$.

### Langkah 2: Cek Posisi Singularitas
Kontur $$ C $$ didefinisikan oleh $$ |z-5|=3 $$, yang berarti kontur ini adalah lingkaran dengan pusat di $$ z=5 $$ dan jari-jari 3. Kita dapat menghitung jarak dari pusat kontur ke singularitas:

$$
|4 - 5| = 1
$$

Karena $$ 1 < 3 $$, maka $$ z = 4 $$ berada di dalam kontur $$ C $$.

### Langkah 3: Hitung Residue
Karena $$ z = 4 $$ adalah singularitas dari orde 3, kita perlu menghitung residue dari fungsi tersebut. Residue untuk singularitas orde $$ n $$ dapat dihitung dengan rumus:

$$
\text{Residue} = \frac{1}{(n-1)!} \lim_{z \to z_0} \frac{d^{n-1}}{dz^{n-1}} \left( (z-z_0)^{n} f(z) \right)
$$

Di sini, $$ n = 3 $$ dan $$ z_0 = 4 $$. Maka kita perlu menghitung:

$$
\text{Residue} = \frac{1}{2!} \lim_{z \to 4} \frac{d^{2}}{dz^{2}} \left( (z-4)^{3} \frac{\ln z}{(z-4)^{3}} \right) = \frac{1}{2!} \lim_{z \to 4} \frac{d^{2}}{dz^{2}} (\ln z)
$$

### Langkah 4: Hitung Turunan
Mari kita hitung turunan kedua dari $$ \ln z $$:

1. Turunan pertama:
   $$
   \frac{d}{dz} (\ln z) = \frac{1}{z}
   $$

2. Turunan kedua:
   $$
   \frac{d^{2}}{dz^{2}} (\ln z) = -\frac{1}{z^{2}}
   $$

Sekarang kita substitusi $$ z = 4 $$:

$$
\frac{d^{2}}{dz^{2}} (\ln z) \bigg|_{z=4} = -\frac{1}{4^{2}} = -\frac{1}{16}
$$

### Langkah 5: Hitung Residue
Sekarang kita substitusi ke dalam rumus residue:

$$
\text{Residue} = \frac{1}{2} \left(-\frac{1}{16}\right) = -\frac{1}{32}
$$

### Langkah 6: Hitung Integral
Dengan menggunakan Teorema Residue, kita dapat menghitung integral:

$$
\oint_{C} \frac{\ln z}{(z-4)^{3}} \, dz = 2\pi i \cdot \text{Residue} = 2\pi i \left(-\frac{1}{32}\right) = -\frac{\pi i}{16}
$$

### Kesimpulan
Maka, hasil dari integral kontur tersebut adalah:

$$
\oint_{C} \frac{\ln z}{(z-4)^{3}} \, dz = -\frac{\pi i}{16}
$$
The integral $$ \oint_{C} \frac{\ln z}{(z-4)^{3}} $$ evaluates to $$ -\frac{\pi i}{16} $$.

5. Hitinglah \( \oint_{C} \frac{\ln z}{(z-4)^{3}} \), dengan \( C:|z-5|=3 \), berorientasi positif

Solución de inteligencia artificial de Upstudy

Responder

Solución

Beyond the Answer

preguntas relacionadas

Latest Calculus Questions