39. Найдите \( |\vec{b}| \), если \( |\vec{a}|=6,|\vec{a}+\vec{b}|=11 \) и \( |\vec{a}-\vec{b}|=7 \) \( \begin{array}{ll}\text { A) } 6 & \text { D) } 7 \\ \text { B) } 10 & \text { E) } 9 \\ \text { C) } 8 & \end{array} \)

Чтобы найти длину вектора \( |\vec{b}| \), воспользуемся свойствами векторов и формулой для нахождения длины суммы и разности векторов. Известно: 1. \( |\vec{a}| = 6 \) 2. \( |\vec{a} + \vec{b}| = 11 \) 3. \( |\vec{a} - \vec{b}| = 7 \) Сначала используем формулы для длины суммы и разности векторов: \[ |\vec{a} + \vec{b}|^2 = |\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 + 2|\vec{a}||\vec{b}|\cos \theta \] \[ |\vec{a} - \vec{b}|^2 = |\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 - 2|\vec{a}||\vec{b}|\cos \theta \] Где \( \theta \) - угол между векторами \( \vec{a} \) и \( \vec{b} \). Теперь подставим значения: 1. \( 11^2 = 6^2 + |\vec{b}|^2 + 2 \cdot 6 \cdot |\vec{b}| \cos \theta \) 2. \( 7^2 = 6^2 + |\vec{b}|^2 - 2 \cdot 6 \cdot |\vec{b}| \cos \theta \) Решим уравнения: 1. Первое уравнение: \( 121 = 36 + |\vec{b}|^2 + 12 |\vec{b}| \cos \theta \) \[ 121 = 36 + |\vec{b}|^2 + 12 |\vec{b}| \cos \theta \Rightarrow 85 = |\vec{b}|^2 + 12 |\vec{b}| \cos \theta \quad \text{(1)} \] 2. Второе уравнение: \( 49 = 36 + |\vec{b}|^2 - 12 |\vec{b}| \cos \theta \) \[ 49 = 36 + |\vec{b}|^2 - 12 |\vec{b}| \cos \theta \Rightarrow 13 = |\vec{b}|^2 - 12 |\vec{b}| \cos \theta \quad \text{(2)} \] Теперь складываем уравнения (1) и (2): \[ 85 + 13 = 2|\vec{b}|^2 \Rightarrow 98 = 2|\vec{b}|^2 \Rightarrow |\vec{b}|^2 = 49 \Rightarrow |\vec{b}| = 7 \] Таким образом, длина вектора \( |\vec{b}| = 7 \). Верный ответ - D) 7.