08 다음 그림과 같이 반지름의 길이가 \( 2 a b^{2} \) 인 구와 밑면의 반지름의 길이가 \( 3 a b^{3} \) 이고 높이가 \( \frac{1}{2} a \) 인 원기둥이 있 다. 이때 구의 부피는 원기둥의 부피의 몇 배인지 구하 시오.

구의 부피는 \( V_{\text{sphere}} = \frac{4}{3} \pi r^3 \) 공식으로 구할 수 있습니다. 반지름 \( r \)이 \( 2ab^2 \)일 경우, 구의 부피는 다음과 같습니다: \[ V_{\text{sphere}} = \frac{4}{3} \pi (2ab^2)^3 = \frac{4}{3} \pi \cdot 8a^3b^6 = \frac{32}{3} \pi a^3 b^6 \] 원기둥의 부피는 \( V_{\text{cylinder}} = \pi r^2 h \) 공식에 따라, 밑면의 반지름이 \( 3ab^3 \)이고 높이가 \( \frac{1}{2}a \)일 경우 다음과 같이 계산할 수 있습니다: \[ V_{\text{cylinder}} = \pi (3ab^3)^2 \cdot \frac{1}{2} a = \pi \cdot 9a^2b^6 \cdot \frac{1}{2} a = \frac{9}{2} \pi a^3 b^6 \] 따라서, 구의 부피가 원기둥의 부피의 몇 배인지 계산하면 다음과 같습니다: \[ \text{비율} = \frac{V_{\text{sphere}}}{V_{\text{cylinder}}} = \frac{\frac{32}{3} \pi a^3 b^6}{\frac{9}{2} \pi a^3 b^6} = \frac{32}{3} \cdot \frac{2}{9} = \frac{64}{27} \] 결론적으로, 구의 부피는 원기둥의 부피의 \( \frac{64}{27} \)배입니다.