08 다음 그림과 같이 반지름의 길이가 $$ 2 a b^{2} $$ 인 구와 밑면의 반지름의 길이가 $$ 3 a b^{3} $$ 이고 높이가 $$ \frac{1}{2} a $$ 인 원기둥이 있 다. 이때 구의 부피는 원기둥의 부피의 몇 배인지 구하 시오.

Question

UpStudy AI · Accepted Answer

주어진 문제를 해결하기 위해 구와 원기둥의 부피를 각각 구한 후, 두 부피의 비율을 계산하겠습니다.

1. **구의 부피 계산:**
   구의 부피 $$ V_s $$는 다음과 같은 공식으로 계산됩니다:
   $$
   V_s = \frac{4}{3} \pi r^3
   $$
   여기서 $$ r $$은 구의 반지름입니다. 주어진 반지름은 $$ 2ab^2 $$입니다. 따라서,
   $$
   V_s = \frac{4}{3} \pi (2ab^2)^3
   $$

2. **원기둥의 부피 계산:**
   원기둥의 부피 $$ V_c $$는 다음과 같은 공식으로 계산됩니다:
   $$
   V_c = \pi r^2 h
   $$
   여기서 $$ r $$은 원기둥의 밑면 반지름, $$ h $$는 높이입니다. 주어진 밑면 반지름은 $$ 3ab^3 $$이고, 높이는 $$ \frac{1}{2}a $$입니다. 따라서,
   $$
   V_c = \pi (3ab^3)^2 \left(\frac{1}{2}a\right)
   $$

이제 두 부피를 계산해 보겠습니다.

먼저 구의 부피를 계산하겠습니다.

$$
V_s = \frac{4}{3} \pi (2ab^2)^3 = \frac{4}{3} \pi (8a^3b^6) = \frac{32}{3} \pi a^3 b^6
$$

다음으로 원기둥의 부피를 계산하겠습니다.

$$
V_c = \pi (3ab^3)^2 \left(\frac{1}{2}a\right) = \pi (9a^2b^6) \left(\frac{1}{2}a\right) = \frac{9}{2} \pi a^3 b^6
$$

이제 두 부피의 비율을 계산하겠습니다.

$$
\text{비율} = \frac{V_s}{V_c} = \frac{\frac{32}{3} \pi a^3 b^6}{\frac{9}{2} \pi a^3 b^6}
$$

$$\pi a^3 b^6$$는 서로 약분할 수 있으므로,

$$
\text{비율} = \frac{\frac{32}{3}}{\frac{9}{2}} = \frac{32}{3} \cdot \frac{2}{9} = \frac{64}{27}
$$

따라서, 구의 부피는 원기둥의 부피의 $$\frac{64}{27}$$배입니다.
구의 부피는 원기둥의 부피의 $$\frac{64}{27}$$배입니다.

08 다음 그림과 같이 반지름의 길이가 \( 2 a b^{2} \) 인 구와 밑면의 반지름의 길이가 \( 3 a b^{3} \) 이고 높이가 \( \frac{1}{2} a \) 인 원기둥이 있 다. 이때 구의 부피는 원기둥의 부피의 몇 배인지 구하 시오.

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