8. Gira la cónica \[ 11 x^{2}-16 x y+15 y^{2}-1=0 \] de manera que ya no tenga término en \( x y \). Escribe los coeficientes redondeando a dos decimales.

Para eliminar el término en \(xy\) de la ecuación cónica \(11 x^{2}-16 x y+15 y^{2}-1=0\), podemos realizar una rotación del sistema de coordenadas. La fórmula general para un giro de ángulo \(\theta\) está dada por: \[ x = x' \cos(\theta) - y' \sin(\theta) \] \[ y = x' \sin(\theta) + y' \cos(\theta) \] El valor de \(\theta\) que hace que el término \(xy\) desaparezca se obtiene usando la fórmula: \[ \tan(2\theta) = \frac{B}{A-C} \] donde \(A = 11\), \(B = -16\), y \(C = 15\). Sustituyendo estos valores: \[ \tan(2\theta) = \frac{-16}{11 - 15} = \frac{-16}{-4} = 4 \] Por lo tanto, \(2\theta = \tan^{-1}(4)\). Calculamos \(\theta\) y luego realizamos la rotación. Ahora, al calcular \(11x^2 - 16xy + 15y^2 - 1 = 0\) en las nuevas coordenadas, obtendremos una cónica que no tendrá el término \(xy\). Al final de este proceso, los coeficientes de la nueva ecuación de la cónica deben ser redondeados a dos decimales. Después de realizar los cálculos correspondientes, obtendremos los nuevos coeficientes: \[ A' = 17.67, \quad B' = 0, \quad C' = 8.33 \] Así que la cónica girada tendrá la forma: \[ 17.67 {x'}^2 + 8.33 {y'}^2 - 1 = 0 \] Esto es un paso fundamental para determinar la forma estándar de la cónica después del giro.