Il perimetro di un rettangolo è 518 cm e le sue dimensioni sono una \( \frac{4}{3} \) dell'altra. Calcola: a. la misura della diagonale del rettangolo; b. il perimetro di un quadrato equivalente a \( \frac{4}{3} \) del rettangolo.

Iniziamo a calcolare le dimensioni del rettangolo. Sappiamo che il perimetro \( P \) del rettangolo è dato dalla formula \( P = 2(l + h) \), dove \( l \) è la lunghezza e \( h \) è l'altezza. Dato che \( P = 518 \, cm \), otteniamo: \[ 2(l + h) = 518 \Rightarrow l + h = 259 \, cm. \] In aggiunta, ci dicono che \( l = \frac{4}{3}h \). Possiamo sostituire questa espressione nella nostra equazione: \[ \frac{4}{3}h + h = 259. \] Risolvendo, otteniamo: \[ \frac{4h + 3h}{3} = 259 \Rightarrow \frac{7h}{3} = 259 \Rightarrow h = \frac{259 \times 3}{7} = 111.57 \, cm. \] Ora calcoliamo la lunghezza: \[ l = \frac{4}{3}h = \frac{4}{3} \times 111.57 \approx 148.76 \, cm. \] Per calcolare la diagonale \( d \) del rettangolo, utilizziamo il teorema di Pitagora: \[ d = \sqrt{l^2 + h^2} = \sqrt{(148.76)^2 + (111.57)^2} \approx \sqrt{22147.57 + 12448.90} \approx \sqrt{34596.47} \approx 185.88 \, cm. \] Passiamo ora al quadrato equivalente. Il perimetro del quadrato equivalente a \( \frac{4}{3} \) del rettangolo è calcolato moltiplicando l'area del rettangolo per \( \frac{4}{3} \). L'area del rettangolo è \( A = l \times h = 148.76 \times 111.57 \approx 16613.1 \, cm^2. \) La nuova area del quadrato sarà: \[ A_{quadrato} = \frac{4}{3} A_{rettangolo} \approx \frac{4}{3} \times 16613.1 \approx 22151.07 \, cm^2. \] Ora calcoliamo il lato del quadrato \( a \): \[ a = \sqrt{A_{quadrato}} \approx \sqrt{22151.07} \approx 148.46 \, cm. \] Infine, il perimetro del quadrato sarà: \[ P_{quadrato} = 4a \approx 4 \times 148.46 \approx 593.84 \, cm. \] In sintesi: a. La misura della diagonale del rettangolo è circa \( 185.88 \, cm \). b. Il perimetro del quadrato equivalente a \( \frac{4}{3} \) del rettangolo è circa \( 593.84 \, cm \).