Si \( C=\left(\begin{array}{ll}3 & 2 \\ 1 & 1\end{array}\right) \) ¿cuál de las siguientes matrices es la matriz D tal que \( \mathrm{C} \times \mathrm{D}=1 \) (matriz identidad)?

Sea \( C=\begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \). Para hallar la matriz \( D \) tal que \[ C \times D = I \] donde \( I \) es la matriz identidad, debemos encontrar la inversa de \( C \), ya que ese \( D \) es \( C^{-1} \). **Paso 1. Calcular el determinante de \( C \)** La fórmula para el determinante de una matriz \( 2 \times 2 \) es \[ \det(C) = ad - bc, \] donde \[ C=\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}. \] En nuestro caso, \( a=3 \), \( b=2 \), \( c=1 \), \( d=1 \). Entonces, \[ \det(C)=3\cdot1-2\cdot1=3-2=1. \] **Paso 2. Calcular la inversa de \( C \)** La fórmula de la inversa para una matriz \( 2 \times 2 \) es \[ C^{-1}=\frac{1}{\det(C)}\begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}. \] Sustituyendo los valores: \[ C^{-1}=\frac{1}{1}\begin{pmatrix} 1 & -2 \\ -1 & 3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & -2 \\ -1 & 3 \end{pmatrix}. \] Por lo tanto, la matriz \( D \) que satisface \[ C \times D = I \] es \[ D = \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ -1 & 3 \end{pmatrix}. \]