กำหนดให้ \( a_{1}, a_{2}, \ldots \) เป็นลำดับเรขาคณิตที่มี \( a_{4}=27 a_{1} \) ถ้าผลบวก 5 พจน์แรกของอนุกรมที่ได้จากลำดับนี้เท่ากับ 242 แล้ว พจน์ที่ ของลำดับนี้เท่ากับเท่าใด

เรามีลำดับเรขาคณิต \( a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}, \ldots \) โดยที่ \( a_{n} = a_{1} r^{n-1} \) ซึ่ง \( r \) คืออัตราส่วนของลำดับเรขาคณิต จากข้อมูลที่ให้มา: 1. \( a_{4} = 27 a_{1} \) 2. ผลบวก 5 พจน์แรกของอนุกรมเท่ากับ 242 ### ขั้นตอนที่ 1: หาอัตราส่วน \( r \) จากสมการ \( a_{4} = a_{1} r^{3} \) เราสามารถเขียนได้ว่า: \[ a_{1} r^{3} = 27 a_{1} \] ถ้า \( a_{1} \neq 0 \) เราสามารถตัด \( a_{1} \) ออกได้: \[ r^{3} = 27 \] ดังนั้น: \[ r = 3 \] ### ขั้นตอนที่ 2: หา \( a_{1} \) ผลบวก 5 พจน์แรกของอนุกรมเรขาคณิตสามารถคำนวณได้จากสูตร: \[ S_{n} = a_{1} \frac{1 - r^{n}}{1 - r} \] สำหรับ \( n = 5 \): \[ S_{5} = a_{1} \frac{1 - r^{5}}{1 - r} \] แทนค่า \( r = 3 \): \[ S_{5} = a_{1} \frac{1 - 3^{5}}{1 - 3} = a_{1} \frac{1 - 243}{-2} = a_{1} \frac{-242}{-2} = a_{1} \cdot 121 \] จากข้อมูลที่ให้มา \( S_{5} = 242 \): \[ a_{1} \cdot 121 = 242 \] ดังนั้น: \[ a_{1} = \frac{242}{121} = 2 \] ### ขั้นตอนที่ 3: หา \( a_{n} \) ตอนนี้เรามี \( a_{1} = 2 \) และ \( r = 3 \) ดังนั้น: \[ a_{n} = a_{1} r^{n-1} = 2 \cdot 3^{n-1} \] ### ขั้นตอนที่ 4: คำนวณ \( a_{n} \) พจน์ที่ \( n \) ของลำดับนี้คือ: \[ a_{n} = 2 \cdot 3^{n-1} \] ดังนั้น พจน์ที่ \( n \) ของลำดับนี้คือ \( 2 \cdot 3^{n-1} \)