กำหนดให้ $$ a_{1}, a_{2}, \ldots $$ เป็นลำดับเรขาคณิตที่มี $$ a_{4}=27 a_{1} $$ ถ้าผลบวก 5 พจน์แรกของอนุกรมที่ได้จากลำดับนี้เท่ากับ 242 แล้ว พจน์ที่ ของลำดับนี้เท่ากับเท่าใด

Question

UpStudy AI · Accepted Answer

เรามีลำดับเรขาคณิต $$ a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}, \ldots $$ โดยที่ $$ a_{n} = a_{1} r^{n-1} $$ ซึ่ง $$ r $$ คืออัตราส่วนของลำดับเรขาคณิต

จากข้อมูลที่ให้มา:
1. $$ a_{4} = 27 a_{1} $$
2. ผลบวก 5 พจน์แรกของอนุกรมเท่ากับ 242

### ขั้นตอนที่ 1: หาอัตราส่วน $$ r $$

จากสมการ $$ a_{4} = a_{1} r^{3} $$ เราสามารถเขียนได้ว่า:
$$
a_{1} r^{3} = 27 a_{1}
$$
ถ้า $$ a_{1} \neq 0 $$ เราสามารถตัด $$ a_{1} $$ ออกได้:
$$
r^{3} = 27
$$
ดังนั้น:
$$
r = 3
$$

### ขั้นตอนที่ 2: หา $$ a_{1} $$

ผลบวก 5 พจน์แรกของอนุกรมเรขาคณิตสามารถคำนวณได้จากสูตร:
$$
S_{n} = a_{1} \frac{1 - r^{n}}{1 - r}
$$
สำหรับ $$ n = 5 $$:
$$
S_{5} = a_{1} \frac{1 - r^{5}}{1 - r}
$$
แทนค่า $$ r = 3 $$:
$$
S_{5} = a_{1} \frac{1 - 3^{5}}{1 - 3} = a_{1} \frac{1 - 243}{-2} = a_{1} \frac{-242}{-2} = a_{1} \cdot 121
$$
จากข้อมูลที่ให้มา $$ S_{5} = 242 $$:
$$
a_{1} \cdot 121 = 242
$$
ดังนั้น:
$$
a_{1} = \frac{242}{121} = 2
$$

### ขั้นตอนที่ 3: หา $$ a_{n} $$

ตอนนี้เรามี $$ a_{1} = 2 $$ และ $$ r = 3 $$ ดังนั้น:
$$
a_{n} = a_{1} r^{n-1} = 2 \cdot 3^{n-1}
$$

### ขั้นตอนที่ 4: คำนวณ $$ a_{n} $$

พจน์ที่ $$ n $$ ของลำดับนี้คือ:
$$
a_{n} = 2 \cdot 3^{n-1}
$$

ดังนั้น พจน์ที่ $$ n $$ ของลำดับนี้คือ $$ 2 \cdot 3^{n-1} $$
พจน์ที่ $$ n $$ ของลำดับนี้คือ $$ 2 \cdot 3^{n-1} $$.

Solución de inteligencia artificial de Upstudy

Responder

Solución

Mind Expander

preguntas relacionadas

Latest Algebra Questions