\( 3^{2 x} \cdot 5^{2 x} \cdot 15^{x}=225^{3} \) olduğuna göre \( x \) kaçtır? \( \begin{array}{llll}\text { A) } 1 & \text { B) } 2 & \text { C) } 3 & \text { D) } 4\end{array} \)

Verilen denklemi inceleyelim: \[ 3^{2x} \cdot 5^{2x} \cdot 15^{x} = 225^{3} \] Öncelikle sağ tarafı sadeleştirelim. \( 225 \) sayısını çarpanlarına ayırabiliriz: \[ 225 = 15^2 \] Bu durumda: \[ 225^3 = (15^2)^3 = 15^6 \] Şimdi sol tarafı düzenleyelim. \( 15 \) sayısını da çarpanlarına ayırabiliriz: \[ 15 = 3 \cdot 5 \] Bu durumda: \[ 15^x = (3 \cdot 5)^x = 3^x \cdot 5^x \] Şimdi sol tarafı yeniden yazalım: \[ 3^{2x} \cdot 5^{2x} \cdot 15^x = 3^{2x} \cdot 5^{2x} \cdot 3^x \cdot 5^x = 3^{2x + x} \cdot 5^{2x + x} = 3^{3x} \cdot 5^{3x} \] Bu durumda denklemi şu şekilde yazabiliriz: \[ 3^{3x} \cdot 5^{3x} = 15^6 \] Şimdi \( 15^6 \) ifadesini de çarpanlarına ayıralım: \[ 15^6 = (3 \cdot 5)^6 = 3^6 \cdot 5^6 \] Artık elimizde şu denklem var: \[ 3^{3x} \cdot 5^{3x} = 3^6 \cdot 5^6 \] Her iki tarafın tabanları aynı olduğundan, üstleri eşitleyebiliriz: \[ 3x = 6 \quad \text{ve} \quad 3x = 6 \] Her iki denklemden de \( x \) değerini bulalım: \[ x = \frac{6}{3} = 2 \] Sonuç olarak, \( x \) değeri: \[ \boxed{2} \]