La velocità alla quale un uomo può far avanzare una barca a remi rispetto all'acqua ferma è di $$ 5 \mathrm{~km} / \mathrm{h} $$. a) Se l'uomo desidera attraversare un fiume raggiungendo il punto esattamente di fronteaquellodipartenza(sull'altrasponda)inpresenzadiunacorrentedi2.5 $$ \mathrm{km} / \mathrm{h} $$, quale direzione deve dare alla barca? (si consideri il fiume orientato $$ \mathrm{N}-\mathrm{S} $$, e la corrente diretta da Na S ). $$ \begin{array}{l} ext { b) Se il fiume è largo } 5 \mathrm{~km} ext {, quanto tempo impiegherà ad attraversarlo? } \ ext { c) Quanto tempo impiegherebbe a remare per } 3 \mathrm{~km} ext { in favore di corrente e poi } \ ext { tornare al punto di partenza? }\end{array} $$

Question

La velocità alla quale un uomo può far avanzare una barca a remi rispetto all'acqua ferma è di $$ 5 \mathrm{~km} / \mathrm{h} $$. a) Se l'uomo desidera attraversare un fiume raggiungendo il punto esattamente di fronteaquellodipartenza(sull'altrasponda)inpresenzadiunacorrentedi2.5 $$ \mathrm{km} / \mathrm{h} $$, quale direzione deve dare alla barca? (si consideri il fiume orientato $$ \mathrm{N}-\mathrm{S} $$, e la corrente diretta da Na S ). $$ \begin{array}{l}	ext { b) Se il fiume è largo } 5 \mathrm{~km} 	ext {, quanto tempo impiegherà ad attraversarlo? } \ 	ext { c) Quanto tempo impiegherebbe a remare per } 3 \mathrm{~km} 	ext { in favore di corrente e poi } \ 	ext { tornare al punto di partenza? }\end{array} $$

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Iniziamo a risolvere il problema passo dopo passo.

### a) Direzione da dare alla barca

Abbiamo:
- Velocità della barca rispetto all'acqua: $$ v_b = 5 \, \text{km/h} $$
- Velocità della corrente: $$ v_c = 2.5 \, \text{km/h} $$

Per attraversare il fiume e raggiungere il punto esattamente di fronte alla partenza, l'uomo deve remare in una direzione tale da compensare la corrente. Possiamo utilizzare il teorema di Pitagora per trovare l'angolo $$ \theta $$ rispetto alla direzione perpendicolare alla corrente.

La velocità della barca rispetto alla corrente deve avere una componente che annulli la corrente. Quindi, possiamo scrivere:

$$
v_{b_y} = v_b \cdot \sin(\theta)
$$
$$
v_{b_x} = v_b \cdot \cos(\theta)
$$

Dove:
- $$ v_{b_y} $$ è la componente della velocità della barca che va contro la corrente.
- $$ v_{b_x} $$ è la componente della velocità della barca che va perpendicolare alla corrente.

Per annullare la corrente, dobbiamo avere:

$$
v_{b_y} = v_c
$$

Quindi:

$$
v_b \cdot \sin(\theta) = 2.5
$$

E per la componente perpendicolare:

$$
v_{b_x} = v_b \cdot \cos(\theta)
$$

Ora possiamo calcolare $$ \sin(\theta) $$:

$$
\sin(\theta) = \frac{2.5}{5} = 0.5
$$

Da qui, possiamo trovare $$ \theta $$:

$$
\theta = \arcsin(0.5) = 30^\circ
$$

Quindi, l'uomo deve remare a un angolo di $$ 30^\circ $$ rispetto alla direzione perpendicolare alla corrente.

### b) Tempo per attraversare il fiume

La larghezza del fiume è di $$ 5 \, \text{km} $$. La componente della velocità della barca per attraversare il fiume è:

$$
v_{b_x} = v_b \cdot \cos(30^\circ) = 5 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}
$$

Ora calcoliamo il tempo $$ t $$ per attraversare il fiume:

$$
t = \frac{d}{v_{b_x}} = \frac{5}{5 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{2}{\sqrt{3}} \, \text{h}
$$

### c) Tempo per remare 3 km in favore di corrente e tornare

Quando l'uomo remare in favore di corrente, la velocità effettiva sarà:

$$
v_{eff} = v_b + v_c = 5 + 2.5 = 7.5 \, \text{km/h}
$$

Il tempo per remare 3 km in favore di corrente è:

$$
t_{andata} = \frac{3}{7.5} \, \text{h}
$$

Per tornare indietro contro la corrente, la velocità effettiva sarà:

$$
v_{eff} = v_b - v_c = 5 - 2.5 = 2.5 \, \text{km/h}
$$

Il tempo per tornare indietro è:

$$
t_{ritorno} = \frac{3}{2.5} \, \text{h}
$$

Ora calcoliamo i tempi totali.

### Calcoli finali

1. Tempo per attraversare il fiume: $$ t = \frac{2}{\sqrt{3}} $$
2. Tempo per andare: $$ t_{andata} = \frac{3}{7.5} $$
3. Tempo per tornare: $$ t_{ritorno} = \frac{3}{2.5} $$

Procediamo a calcolare i valori numerici.
Calculate the value by following steps:
- step0: Calculate:
  $$\frac{3}{2.5}$$
- step1: Convert the expressions:
  $$\frac{3}{\frac{5}{2}}$$
- step2: Multiply by the reciprocal:
  $$3\times \frac{2}{5}$$
- step3: Multiply:
  $$\frac{3\times 2}{5}$$
- step4: Multiply:
  $$\frac{6}{5}$$
Calculate or simplify the expression $$ 2/\sqrt(3) $$.
Calculate the value by following steps:
- step0: Calculate:
  $$\frac{2}{\sqrt{3}}$$
- step1: Multiply by the Conjugate:
  $$\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{3}\times \sqrt{3}}$$
- step2: Multiply the numbers:
  $$\frac{2\sqrt{3}}{3}$$
Calculate or simplify the expression $$ 3/7.5 $$.
Calculate the value by following steps:
- step0: Calculate:
  $$\frac{3}{7.5}$$
- step1: Convert the expressions:
  $$\frac{3}{\frac{15}{2}}$$
- step2: Multiply by the reciprocal:
  $$3\times \frac{2}{15}$$
- step3: Reduce the numbers:
  $$1\times \frac{2}{5}$$
- step4: Multiply:
  $$\frac{2}{5}$$
Ecco i risultati finali:

### a) Direzione da dare alla barca
L'uomo deve remare a un angolo di $$ 30^\circ $$ rispetto alla direzione perpendicolare alla corrente.

### b) Tempo per attraversare il fiume
Il tempo per attraversare il fiume è di circa $$ 1.15 \, \text{h} $$ (o $$ \frac{2}{\sqrt{3}} \, \text{h} $$).

### c) Tempo per remare 3 km in favore di corrente e tornare
- Tempo per andare: $$ 0.4 \, \text{h} $$
- Tempo per tornare: $$ 1.2 \, \text{h} $$

Quindi, il tempo totale per andare e tornare è:

$$
t_{totale} = t_{andata} + t_{ritorno} = 0.4 + 1.2 = 1.6 \, \text{h}
$$

In sintesi:
- Tempo per attraversare il fiume: $$ \approx 1.15 \, \text{h} $$
- Tempo totale per andare e tornare: $$ 1.6 \, \text{h} $$
L'uomo deve remare a un angolo di 30° rispetto alla direzione perpendicolare alla corrente. Per attraversare il fiume di 5 km, impiegherà circa 1.15 ore. Per remare 3 km in favore della corrente e tornare, impiegherà un totale di 1.6 ore.

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