كندنجامئ \( \int_{1}^{3} \ln 3 x d x \)

لحساب التكامل \( \int_{1}^{3} \ln(3x) \, dx \)، يمكننا استخدام خاصية اللوغاريتمات لتبسيط المعادلة. أولاً، نستطيع كتابة اللوغاريتم على الشكل التالي: \[ \ln(3x) = \ln(3) + \ln(x) \] وبالتالي يمكن تحويل التكامل إلى: \[ \int_{1}^{3} \ln(3x) \, dx = \int_{1}^{3} (\ln(3) + \ln(x)) \, dx = \int_{1}^{3} \ln(3) \, dx + \int_{1}^{3} \ln(x) \, dx \] الآن نحسب كل جزء على حدة: - الجزء الأول هو: \[ \int_{1}^{3} \ln(3) \, dx = \ln(3) \cdot (3 - 1) = 2 \ln(3) \] - الجزء الثاني نحتاج لحساب \( \int_{1}^{3} \ln(x) \, dx \). هذا يمكن حسابه باستخدام طريقة التكامل بالأجزاء: دع \( u = \ln(x) \) و\( dv = dx \). ثم نجد \( du = \frac{1}{x}dx \) و\( v = x \). باستخدام صيغة التكامل بالتجزئة: \[ \int u \, dv = uv - \int v \, du \] نستخرج: \[ \int \ln(x) \, dx = x \ln(x) - \int x \cdot \frac{1}{x} \, dx = x \ln(x) - x + C \] لذلك، \[ \int_{1}^{3} \ln(x) \, dx = [x \ln(x) - x]_{1}^{3} = [3 \ln(3) - 3] - [1 \ln(1) - 1] = 3 \ln(3) - 3 + 1 = 3 \ln(3) - 2 \] الآن نجمع الأجزاء: \[ \int_{1}^{3} \ln(3x) \, dx = 2 \ln(3) + (3 \ln(3) - 2) = 5 \ln(3) - 2 \] إذًا، الناتج النهائي هو: \[ \int_{1}^{3} \ln(3x) \, dx = 5 \ln(3) - 2 \]