Question
upstudy study bank question image url

(6) REFLEXIONA. Traza un segmento de extremos \( (0,0) \) \( y(6,0) \) y dibuja estos lugares geométricos: a) Puntos que equidistan de los extremos del segmento b) Puntos que distan 5 unidades de los extremos del segmento. ¿Cuántos puntos cumplen la condición?

Ask by Warren Gough. in Spain
Mar 12,2025

Upstudy AI Solution

Tutor-Verified Answer

Answer

Hay 2 puntos que distan 5 unidades de los extremos del segmento: \( (3, 4) \) y \( (3, -4) \).

Solution

Para resolver el problema, vamos a analizar cada parte paso a paso. ### Parte a: Puntos que equidistan de los extremos del segmento 1. **Identificación de los extremos del segmento**: Los extremos del segmento son \( A(0,0) \) y \( B(6,0) \). 2. **Ecuación de la mediatriz**: Los puntos que equidistan de \( A \) y \( B \) se encuentran en la mediatriz del segmento \( AB \). La mediatriz es una línea que es perpendicular al segmento y pasa por su punto medio. - **Punto medio**: El punto medio \( M \) de \( A \) y \( B \) se calcula como: \[ M = \left( \frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2} \right) = \left( \frac{0 + 6}{2}, \frac{0 + 0}{2} \right) = (3, 0) \] - **Pendiente del segmento \( AB \)**: La pendiente de \( AB \) es \( 0 \) (horizontal), por lo que la pendiente de la mediatriz será indefinida (vertical). - **Ecuación de la mediatriz**: La mediatriz es la línea vertical que pasa por \( M(3,0) \), que se puede expresar como: \[ x = 3 \] ### Parte b: Puntos que distan 5 unidades de los extremos del segmento 1. **Puntos que distan 5 unidades de \( A(0,0) \)**: La distancia de un punto \( P(x,y) \) a \( A \) se puede expresar como: \[ \sqrt{x^2 + y^2} = 5 \] Al elevar al cuadrado ambos lados, obtenemos: \[ x^2 + y^2 = 25 \] Esta es la ecuación de un círculo de radio 5 centrado en \( A(0,0) \). 2. **Puntos que distan 5 unidades de \( B(6,0) \)**: La distancia de un punto \( P(x,y) \) a \( B \) se puede expresar como: \[ \sqrt{(x - 6)^2 + y^2} = 5 \] Al elevar al cuadrado ambos lados, obtenemos: \[ (x - 6)^2 + y^2 = 25 \] Esta es la ecuación de un círculo de radio 5 centrado en \( B(6,0) \). ### Intersección de los círculos Para encontrar cuántos puntos cumplen la condición de estar a 5 unidades de ambos extremos, debemos resolver el sistema de ecuaciones formado por los dos círculos: 1. \( x^2 + y^2 = 25 \) 2. \( (x - 6)^2 + y^2 = 25 \) Vamos a resolver este sistema de ecuaciones. ### Resolución del sistema de ecuaciones Primero, expandimos la segunda ecuación: \[ (x - 6)^2 + y^2 = 25 \implies x^2 - 12x + 36 + y^2 = 25 \] Sustituyendo \( y^2 \) de la primera ecuación en la segunda: \[ x^2 - 12x + 36 + (25 - x^2) = 25 \] Simplificando: \[ -12x + 36 = 0 \implies 12x = 36 \implies x = 3 \] Sustituyendo \( x = 3 \) en la primera ecuación para encontrar \( y \): \[ 3^2 + y^2 = 25 \implies 9 + y^2 = 25 \implies y^2 = 16 \implies y = 4 \text{ o } y = -4 \] ### Resultados Los puntos que cumplen la condición son \( (3, 4) \) y \( (3, -4) \). Por lo tanto, hay **2 puntos** que distan 5 unidades de ambos extremos del segmento. ### Resumen - **Parte a**: La mediatriz del segmento es \( x = 3 \). - **Parte b**: Hay 2 puntos que distan 5 unidades de los extremos del segmento: \( (3, 4) \) y \( (3, -4) \).

Answered by UpStudy AI and reviewed by a Professional Tutor

error msg
Explain
Simplify this solution

The Deep Dive

Para los puntos que equidistan de los extremos del segmento que va de \( (0,0) \) a \( (6,0) \), se puede observar que estos puntos están sobre la línea perpendicular que pasa por el punto medio del segmento, que es \( (3,0) \) y forma una línea vertical. Esto significa que cualquier punto en la línea \( x = 3 \) (es decir, de la forma \( (3,y) \)) está a la misma distancia de \( (0,0) \) y \( (6,0) \). En cuanto a los puntos que distan 5 unidades de los extremos del segmento, se trata de dos círculos: uno centrado en \( (0,0) \) con radio 5 y otro en \( (6,0) \) también con radio 5. Los puntos que cumplen esta condición son los que se encuentran en la circunferencia de cada uno de estos círculos. Al resolver las ecuaciones, se encuentra que hay tres puntos que cumplen la condición: en \( (5,4) \), \( (5,-4) \) y en \( (1,4) \), \( (1,-4) \) y \( (6,4) \), \( (6,-4) \). Por lo que hay un total de 6 puntos que cumplen la condición.

Try Premium now!
Try Premium and ask Thoth AI unlimited math questions now!
Maybe later Go Premium
Study can be a real struggle
Why not UpStudy it?
Select your plan below
Premium

You can enjoy

Start now
  • Step-by-step explanations
  • 24/7 expert live tutors
  • Unlimited number of questions
  • No interruptions
  • Full access to Answer and Solution
  • Full Access to PDF Chat, UpStudy Chat, Browsing Chat
Basic

Totally free but limited

  • Limited Solution
Welcome to UpStudy!
Please sign in to continue the Thoth AI Chat journey
Continue with Email
Or continue with
By clicking “Sign in”, you agree to our Terms of Use & Privacy Policy