Answer
Hay 2 puntos que distan 5 unidades de los extremos del segmento: \( (3, 4) \) y \( (3, -4) \).
Solution
Para resolver el problema, vamos a analizar cada parte paso a paso.
### Parte a: Puntos que equidistan de los extremos del segmento
1. **Identificación de los extremos del segmento**: Los extremos del segmento son \( A(0,0) \) y \( B(6,0) \).
2. **Ecuación de la mediatriz**: Los puntos que equidistan de \( A \) y \( B \) se encuentran en la mediatriz del segmento \( AB \). La mediatriz es una línea que es perpendicular al segmento y pasa por su punto medio.
- **Punto medio**: El punto medio \( M \) de \( A \) y \( B \) se calcula como:
\[
M = \left( \frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2} \right) = \left( \frac{0 + 6}{2}, \frac{0 + 0}{2} \right) = (3, 0)
\]
- **Pendiente del segmento \( AB \)**: La pendiente de \( AB \) es \( 0 \) (horizontal), por lo que la pendiente de la mediatriz será indefinida (vertical).
- **Ecuación de la mediatriz**: La mediatriz es la línea vertical que pasa por \( M(3,0) \), que se puede expresar como:
\[
x = 3
\]
### Parte b: Puntos que distan 5 unidades de los extremos del segmento
1. **Puntos que distan 5 unidades de \( A(0,0) \)**: La distancia de un punto \( P(x,y) \) a \( A \) se puede expresar como:
\[
\sqrt{x^2 + y^2} = 5
\]
Al elevar al cuadrado ambos lados, obtenemos:
\[
x^2 + y^2 = 25
\]
Esta es la ecuación de un círculo de radio 5 centrado en \( A(0,0) \).
2. **Puntos que distan 5 unidades de \( B(6,0) \)**: La distancia de un punto \( P(x,y) \) a \( B \) se puede expresar como:
\[
\sqrt{(x - 6)^2 + y^2} = 5
\]
Al elevar al cuadrado ambos lados, obtenemos:
\[
(x - 6)^2 + y^2 = 25
\]
Esta es la ecuación de un círculo de radio 5 centrado en \( B(6,0) \).
### Intersección de los círculos
Para encontrar cuántos puntos cumplen la condición de estar a 5 unidades de ambos extremos, debemos resolver el sistema de ecuaciones formado por los dos círculos:
1. \( x^2 + y^2 = 25 \)
2. \( (x - 6)^2 + y^2 = 25 \)
Vamos a resolver este sistema de ecuaciones.
### Resolución del sistema de ecuaciones
Primero, expandimos la segunda ecuación:
\[
(x - 6)^2 + y^2 = 25 \implies x^2 - 12x + 36 + y^2 = 25
\]
Sustituyendo \( y^2 \) de la primera ecuación en la segunda:
\[
x^2 - 12x + 36 + (25 - x^2) = 25
\]
Simplificando:
\[
-12x + 36 = 0 \implies 12x = 36 \implies x = 3
\]
Sustituyendo \( x = 3 \) en la primera ecuación para encontrar \( y \):
\[
3^2 + y^2 = 25 \implies 9 + y^2 = 25 \implies y^2 = 16 \implies y = 4 \text{ o } y = -4
\]
### Resultados
Los puntos que cumplen la condición son \( (3, 4) \) y \( (3, -4) \). Por lo tanto, hay **2 puntos** que distan 5 unidades de ambos extremos del segmento.
### Resumen
- **Parte a**: La mediatriz del segmento es \( x = 3 \).
- **Parte b**: Hay 2 puntos que distan 5 unidades de los extremos del segmento: \( (3, 4) \) y \( (3, -4) \).
Answered by UpStudy AI and reviewed by a Professional Tutor

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