(6) REFLEXIONA. Traza un segmento de extremos \( (0,0) \) \( y(6,0) \) y dibuja estos lugares geométricos: a) Puntos que equidistan de los extremos del segmento b) Puntos que distan 5 unidades de los extremos del segmento. ¿Cuántos puntos cumplen la condición?

Para resolver el problema, vamos a analizar cada parte paso a paso. ### Parte a: Puntos que equidistan de los extremos del segmento 1. **Identificación de los extremos del segmento**: Los extremos del segmento son \( A(0,0) \) y \( B(6,0) \). 2. **Ecuación de la mediatriz**: Los puntos que equidistan de \( A \) y \( B \) se encuentran en la mediatriz del segmento \( AB \). La mediatriz es una línea que es perpendicular al segmento y pasa por su punto medio. - **Punto medio**: El punto medio \( M \) de \( A \) y \( B \) se calcula como: \[ M = \left( \frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2} \right) = \left( \frac{0 + 6}{2}, \frac{0 + 0}{2} \right) = (3, 0) \] - **Pendiente del segmento \( AB \)**: La pendiente de \( AB \) es \( 0 \) (horizontal), por lo que la pendiente de la mediatriz será indefinida (vertical). - **Ecuación de la mediatriz**: La mediatriz es la línea vertical que pasa por \( M(3,0) \), que se puede expresar como: \[ x = 3 \] ### Parte b: Puntos que distan 5 unidades de los extremos del segmento 1. **Puntos que distan 5 unidades de \( A(0,0) \)**: La distancia de un punto \( P(x,y) \) a \( A \) se puede expresar como: \[ \sqrt{x^2 + y^2} = 5 \] Al elevar al cuadrado ambos lados, obtenemos: \[ x^2 + y^2 = 25 \] Esta es la ecuación de un círculo de radio 5 centrado en \( A(0,0) \). 2. **Puntos que distan 5 unidades de \( B(6,0) \)**: La distancia de un punto \( P(x,y) \) a \( B \) se puede expresar como: \[ \sqrt{(x - 6)^2 + y^2} = 5 \] Al elevar al cuadrado ambos lados, obtenemos: \[ (x - 6)^2 + y^2 = 25 \] Esta es la ecuación de un círculo de radio 5 centrado en \( B(6,0) \). ### Intersección de los círculos Para encontrar cuántos puntos cumplen la condición de estar a 5 unidades de ambos extremos, debemos resolver el sistema de ecuaciones formado por los dos círculos: 1. \( x^2 + y^2 = 25 \) 2. \( (x - 6)^2 + y^2 = 25 \) Vamos a resolver este sistema de ecuaciones. ### Resolución del sistema de ecuaciones Primero, expandimos la segunda ecuación: \[ (x - 6)^2 + y^2 = 25 \implies x^2 - 12x + 36 + y^2 = 25 \] Sustituyendo \( y^2 \) de la primera ecuación en la segunda: \[ x^2 - 12x + 36 + (25 - x^2) = 25 \] Simplificando: \[ -12x + 36 = 0 \implies 12x = 36 \implies x = 3 \] Sustituyendo \( x = 3 \) en la primera ecuación para encontrar \( y \): \[ 3^2 + y^2 = 25 \implies 9 + y^2 = 25 \implies y^2 = 16 \implies y = 4 \text{ o } y = -4 \] ### Resultados Los puntos que cumplen la condición son \( (3, 4) \) y \( (3, -4) \). Por lo tanto, hay **2 puntos** que distan 5 unidades de ambos extremos del segmento. ### Resumen - **Parte a**: La mediatriz del segmento es \( x = 3 \). - **Parte b**: Hay 2 puntos que distan 5 unidades de los extremos del segmento: \( (3, 4) \) y \( (3, -4) \).