(6) REFLEXIONA. Traza un segmento de extremos $$ (0,0) $$ $$ y(6,0) $$ y dibuja estos lugares geométricos: a) Puntos que equidistan de los extremos del segmento b) Puntos que distan 5 unidades de los extremos del segmento. ¿Cuántos puntos cumplen la condición?

Question

UpStudy AI · Accepted Answer

Para resolver el problema, vamos a analizar cada parte paso a paso.

### Parte a: Puntos que equidistan de los extremos del segmento

1. **Identificación de los extremos del segmento**: Los extremos del segmento son $$ A(0,0) $$ y $$ B(6,0) $$.

2. **Ecuación de la mediatriz**: Los puntos que equidistan de $$ A $$ y $$ B $$ se encuentran en la mediatriz del segmento $$ AB $$. La mediatriz es una línea que es perpendicular al segmento y pasa por su punto medio.

- **Punto medio**: El punto medio $$ M $$ de $$ A $$ y $$ B $$ se calcula como:
     $$
     M = \left( \frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2} \right) = \left( \frac{0 + 6}{2}, \frac{0 + 0}{2} \right) = (3, 0)
     $$

- **Pendiente del segmento $$ AB $$**: La pendiente de $$ AB $$ es $$ 0 $$ (horizontal), por lo que la pendiente de la mediatriz será indefinida (vertical).

- **Ecuación de la mediatriz**: La mediatriz es la línea vertical que pasa por $$ M(3,0) $$, que se puede expresar como:
     $$
     x = 3
     $$

### Parte b: Puntos que distan 5 unidades de los extremos del segmento

1. **Puntos que distan 5 unidades de $$ A(0,0) $$**: La distancia de un punto $$ P(x,y) $$ a $$ A $$ se puede expresar como:
   $$
   \sqrt{x^2 + y^2} = 5
   $$
   Al elevar al cuadrado ambos lados, obtenemos:
   $$
   x^2 + y^2 = 25
   $$
   Esta es la ecuación de un círculo de radio 5 centrado en $$ A(0,0) $$.

2. **Puntos que distan 5 unidades de $$ B(6,0) $$**: La distancia de un punto $$ P(x,y) $$ a $$ B $$ se puede expresar como:
   $$
   \sqrt{(x - 6)^2 + y^2} = 5
   $$
   Al elevar al cuadrado ambos lados, obtenemos:
   $$
   (x - 6)^2 + y^2 = 25
   $$
   Esta es la ecuación de un círculo de radio 5 centrado en $$ B(6,0) $$.

### Intersección de los círculos

Para encontrar cuántos puntos cumplen la condición de estar a 5 unidades de ambos extremos, debemos resolver el sistema de ecuaciones formado por los dos círculos:

1. $$ x^2 + y^2 = 25 $$
2. $$ (x - 6)^2 + y^2 = 25 $$

Vamos a resolver este sistema de ecuaciones.

### Resolución del sistema de ecuaciones

Primero, expandimos la segunda ecuación:

$$
(x - 6)^2 + y^2 = 25 \implies x^2 - 12x + 36 + y^2 = 25
$$

Sustituyendo $$ y^2 $$ de la primera ecuación en la segunda:

$$
x^2 - 12x + 36 + (25 - x^2) = 25
$$

Simplificando:

$$
-12x + 36 = 0 \implies 12x = 36 \implies x = 3
$$

Sustituyendo $$ x = 3 $$ en la primera ecuación para encontrar $$ y $$:

$$
3^2 + y^2 = 25 \implies 9 + y^2 = 25 \implies y^2 = 16 \implies y = 4 \text{ o } y = -4
$$

### Resultados

Los puntos que cumplen la condición son $$ (3, 4) $$ y $$ (3, -4) $$. Por lo tanto, hay **2 puntos** que distan 5 unidades de ambos extremos del segmento.

### Resumen

- **Parte a**: La mediatriz del segmento es $$ x = 3 $$.
- **Parte b**: Hay 2 puntos que distan 5 unidades de los extremos del segmento: $$ (3, 4) $$ y $$ (3, -4) $$.
Hay 2 puntos que distan 5 unidades de los extremos del segmento: $$ (3, 4) $$ y $$ (3, -4) $$.

(6) REFLEXIONA. Traza un segmento de extremos \( (0,0) \) \( y(6,0) \) y dibuja estos lugares geométricos: a) Puntos que equidistan de los extremos del segmento b) Puntos que distan 5 unidades de los extremos del segmento. ¿Cuántos puntos cumplen la condición?

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