จงหาค่าของ \( \sum_{i=1}^{12} i\left(3 i^{2}+7 i-5\right) \)

ในการหาค่าของ \[ \sum_{i=1}^{12} i(3i^2 + 7i - 5) \] เราสามารถขยายสมการในวงเล็บได้เป็น \[ \sum_{i=1}^{12} (3i^3 + 7i^2 - 5i) \] แล้วจะแยกผลรวมออกมาเป็น \[ 3\sum_{i=1}^{12} i^3 + 7\sum_{i=1}^{12} i^2 - 5\sum_{i=1}^{12} i \] โดยเราจะใช้สูตรผลรวมต่าง ๆ ดังนี้: 1. ผลรวมของ \(i\) จนถึง \(n\): \[ \sum_{i=1}^{n} i = \frac{n(n+1)}{2} \] 2. ผลรวมของ \(i^2\) จนถึง \(n\): \[ \sum_{i=1}^{n} i^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \] 3. ผลรวมของ \(i^3\) จนถึง \(n\): \[ \sum_{i=1}^{n} i^3 = \left( \frac{n(n+1)}{2} \right)^2 \] แทนค่า \(n = 12\): - \( \sum_{i=1}^{12} i = \frac{12 \times 13}{2} = 78 \) - \( \sum_{i=1}^{12} i^2 = \frac{12 \times 13 \times 25}{6} = 650 \) - \( \sum_{i=1}^{12} i^3 = \left( \frac{12 \times 13}{2} \right)^2 = 6084 \) นำค่าที่ได้ไปแทนในแต่ละส่วน: \[ 3 \sum_{i=1}^{12} i^3 = 3 \times 6084 = 18252 \] \[ 7 \sum_{i=1}^{12} i^2 = 7 \times 650 = 4550 \] \[ -5 \sum_{i=1}^{12} i = -5 \times 78 = -390 \] รวมผลทั้งหมดด้วย: \[ 18252 + 4550 - 390 = 22112 \] ดังนั้นค่าของ \[ \sum_{i=1}^{12} i(3i^2 + 7i - 5) = 22112 \] ซึ่งเป็นคำตอบที่ต้องการ!