4. Прямокутник, одна сторона якого дорівнюе 2 cm , а його діагональ дорівнюе \( \sqrt{10} \mathrm{cм} \), обертається навколо більшой сторони. Знайдіть об'єм тіла обертання. Розе'язання:

Щоб знайти об'єм тіла обертання, спочатку визначимо довжину більшої сторони прямокутника. Використовуємо теорему Піфагора: \[ a^2 + b^2 = d^2, \] де \( a = 2 \, \text{cm} \), \( d = \sqrt{10} \, \text{cm} \), а \( b \) — це друга сторона. Тоді: \[ 2^2 + b^2 = (\sqrt{10})^2 \\ 4 + b^2 = 10 \\ b^2 = 10 - 4 = 6 \\ b = \sqrt{6} \, \text{cm}. \] Тепер знаємо обидва розміри прямокутника: одна сторона \( 2 \, \text{cm} \) і інша сторона \( \sqrt{6} \, \text{cm} \). Обрахуємо об'єм тіла обертання, яке виникає при обертанні прямокутника навколо більшої сторони (більша сторона — це \( \sqrt{6} \, \text{cm} \)): Формула об'єму тіла обертання: \[ V = \pi r^2 h, \] де \( r \) — це радіус (в даному випадку половина сторони прямокутника, що обертається) і \( h \) — це висота (довжина сторони, що обертається): \[ V = \pi \left(2\right)^2 \left(\sqrt{6}\right) \\ V = \pi \cdot 4 \cdot \sqrt{6} \\ V = 4\pi\sqrt{6} \, \text{см}^3. \] Отже, об'єм тіла обертання дорівнює \( 4\pi\sqrt{6} \, \text{см}^3 \).