4. Прямокутник, одна сторона якого дорівнюе 2 cm , а його діагональ дорівнюе \( \sqrt{10} \mathrm{cм} \), обертається навколо більшой сторони. Знайдіть об'єм тіла обертання. Розе'язання:

Для решения задачи о нахождении объема тела вращения прямоугольника, который вращается вокруг большей стороны, следуем следующим шагам: 1. **Извлечение известных условий:** - Одна сторона прямоугольника \( a = 2 \) см. - Длина диагонали \( d = \sqrt{10} \) см. - Необходимо найти другую сторону \( b \) прямоугольника. 2. **Нахождение второй стороны прямоугольника:** Используем теорему Пифагора для нахождения второй стороны \( b \): \[ d^2 = a^2 + b^2 \] Подставим известные значения: \[ (\sqrt{10})^2 = (2)^2 + b^2 \] Это упростится до: \[ 10 = 4 + b^2 \] Выразим \( b^2 \): \[ b^2 = 10 - 4 = 6 \] Теперь найдем \( b \): \[ b = \sqrt{6} \text{ см} \] 3. **Нахождение объема тела вращения:** Объем тела вращения, получаемого при вращении прямоугольника вокруг большей стороны \( b \), можно найти по формуле: \[ V = \pi r^2 h \] где \( r \) — радиус (в данном случае это сторона \( a \)), а \( h \) — высота (в данном случае это сторона \( b \)): \[ V = \pi (2)^2 (\sqrt{6}) = \pi \cdot 4 \cdot \sqrt{6} \] 4. **Финальный ответ:** Объем тела вращения равен: \[ V = 4\pi\sqrt{6} \text{ см}^3 \] Таким образом, объем тела вращения равен \( 4\pi\sqrt{6} \) см³.