Calcule o valor da expressão: \( \frac{0,777 \ldots \cdot 1,2}{1,555 \ldots \cdot 1,44}: \frac{3,4: 5}{\frac{2}{3}: \frac{9}{18}} \)

Para resolver a expressão \( \frac{0,777 \ldots \cdot 1,2}{1,555 \ldots \cdot 1,44}: \frac{3,4: 5}{\frac{2}{3}: \frac{9}{18}} \), vamos simplificá-la passo a passo. Primeiro, vamos entender os números repetidos: - \( 0,777 \ldots = \frac{7}{9} \) - \( 1,555 \ldots = \frac{14}{9} \) Agora, substituindo na expressão: \[ \frac{\frac{7}{9} \cdot 1,2}{\frac{14}{9} \cdot 1,44} \] Calculando o numerador: \[ \frac{7}{9} \cdot 1,2 = \frac{7 \cdot 12}{90} = \frac{84}{90} = \frac{14}{15} \] Calculando o denominador: \[ \frac{14}{9} \cdot 1,44 = \frac{14 \cdot 144}{900} = \frac{2016}{900} = \frac{224}{100} = \frac{56}{25} \] Portanto, agora temos: \[ \frac{\frac{14}{15}}{\frac{56}{25}} = \frac{14}{15} \cdot \frac{25}{56} = \frac{14 \cdot 25}{15 \cdot 56} \] Agora, vamos calcular: \[ = \frac{350}{840} = \frac{5}{12} \] Agora, precisamos resolver a parte da direita da divisão: \[ \frac{3,4 : 5}{\frac{2}{3} : \frac{9}{18}} \] Calculando o numerador: \[ 3,4 : 5 = \frac{3,4}{5} = \frac{34}{50} = \frac{17}{25} \] Agora, para o denominador: \[ \frac{2}{3} : \frac{9}{18} = \frac{2}{3} \times \frac{18}{9} = \frac{2 \cdot 2}{3} = \frac{4}{3} \] Agora podemos conquistar a última fração: \[ \frac{\frac{17}{25}}{\frac{4}{3}} = \frac{17}{25} \cdot \frac{3}{4} = \frac{51}{100} \] Agora, voltamos à expressão original: \[ \frac{\frac{5}{12}}{\frac{51}{100}} = \frac{5}{12} \cdot \frac{100}{51} = \frac{500}{612} \] Simplificando, temos: \[ \frac{500 \div 4}{612 \div 4} = \frac{125}{153} \] Finalmente, o valor da expressão é: \( \frac{125}{153} \)