Calcule o valor da expressão: \( \frac{0,777 \ldots \cdot 1,2}{1,555 \ldots \cdot 1,44}: \frac{3,4: 5}{\frac{2}{3}: \frac{9}{18}} \)

1. Converter os números decimais em frações: - \(0,777\ldots = \frac{7}{9}\) - \(1,2 = \frac{6}{5}\) - \(1,555\ldots = 1 + 0,555\ldots = 1 + \frac{5}{9} = \frac{14}{9}\) - \(1,44 = \frac{144}{100} = \frac{36}{25}\) - \(3,4 = \frac{34}{10} = \frac{17}{5}\) 2. Interpretar os dois dois grupos de operações: - O primeiro grupo é: \[ \frac{0,777\ldots \cdot 1,2}{1,555\ldots \cdot 1,44} = \frac{\frac{7}{9} \cdot \frac{6}{5}}{\frac{14}{9} \cdot \frac{36}{25}} \] - O segundo grupo envolve as operações ":", que representam divisão. Temos: \[ \frac{3,4:5}{\frac{2}{3}:\frac{9}{18}} \] Calculando: - \(3,4:5 = \frac{\frac{17}{5}}{5} = \frac{17}{5} \cdot \frac{1}{5} = \frac{17}{25}\) - \(\frac{2}{3}:\frac{9}{18} = \frac{\frac{2}{3}}{\frac{9}{18}} = \frac{\frac{2}{3}}{\frac{1}{2}} = \frac{2}{3} \cdot 2 = \frac{4}{3}\) Assim, o segundo grupo se torna: \[ \frac{\frac{17}{25}}{\frac{4}{3}} \] 3. Calcular o primeiro grupo: - Primeiro, calcular o numerador: \[ \frac{7}{9} \cdot \frac{6}{5} = \frac{42}{45} = \frac{14}{15} \] - Agora o denominador: \[ \frac{14}{9} \cdot \frac{36}{25} = \frac{504}{225} \] Simplificando dividindo numerador e denominador por 9: \[ \frac{504 \div 9}{225 \div 9} = \frac{56}{25} \] - Assim, o primeiro grupo fica: \[ \frac{\frac{14}{15}}{\frac{56}{25}} = \frac{14}{15} \cdot \frac{25}{56} \] Simplificando: \[ \frac{14}{56} = \frac{1}{4} \quad \text{e} \quad \frac{25}{15} = \frac{5}{3} \] Portanto: \[ \frac{14}{15} \cdot \frac{25}{56} = \frac{1 \cdot 5}{4 \cdot 3} = \frac{5}{12} \] 4. Calcular o segundo grupo: \[ \frac{\frac{17}{25}}{\frac{4}{3}} = \frac{17}{25} \cdot \frac{3}{4} = \frac{51}{100} \] 5. Dividir o resultado do primeiro grupo pelo resultado do segundo grupo: \[ \frac{5}{12} : \frac{51}{100} = \frac{5}{12} \div \frac{51}{100} = \frac{5}{12} \cdot \frac{100}{51} = \frac{500}{612} \] Simplificando a fração: - Dividindo numerador e denominador por 2: \[ \frac{500 \div 2}{612 \div 2} = \frac{250}{306} \] - Dividindo novamente por 2: \[ \frac{250 \div 2}{306 \div 2} = \frac{125}{153} \] Portanto, o valor da expressão é: \[ \frac{125}{153} \]