- Kalkulatu k-ren balioa $$ \left(x^{4}-k x+3\right):(x+1) $$ zatiketaren hondarra 2 izan dadin - Kalkulatu k-ren balioa $$ \left(x^{3}+2 x^{2}+k x+14\right):(x+1) $$ zatiketaren zatidura $$ x^{2}+x $$ ?

Question

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Para resolver ambos problemas, utilizaremos el teorema del resto, que establece que el resto de la división de un polinomio $$ P(x) $$ entre $$ x - a $$ es $$ P(a) $$.

### Problema 1

Queremos que el resto de la división de $$ P(x) = x^4 - kx + 3 $$ entre $$ x + 1 $$ sea 2. Para ello, evaluamos $$ P(-1) $$:

$$
P(-1) = (-1)^4 - k(-1) + 3 = 1 + k + 3 = k + 4
$$

Queremos que esto sea igual a 2:

$$
k + 4 = 2
$$

Resolviendo para $$ k $$:

$$
k = 2 - 4 = -2
$$

Por lo tanto, el valor de $$ k $$ es $$ \boxed{-2} $$.

### Problema 2

Ahora queremos que el cociente de la división de $$ Q(x) = x^3 + 2x^2 + kx + 14 $$ entre $$ x + 1 $$ sea $$ x^2 + x $$. Esto significa que podemos escribir:

$$
Q(x) = (x + 1)(x^2 + x) + R
$$

donde $$ R $$ es el resto de la división. Dado que estamos dividiendo un polinomio de grado 3 entre uno de grado 1, el resto $$ R $$ será un polinomio de grado menor que 1, es decir, una constante $$ r $$.

Primero, multiplicamos $$ (x + 1)(x^2 + x) $$:

$$
(x + 1)(x^2 + x) = x^3 + x^2 + x^2 + x = x^3 + 2x^2 + x
$$

Por lo tanto, podemos escribir:

$$
Q(x) = x^3 + 2x^2 + x + r
$$

Igualando esto a $$ Q(x) = x^3 + 2x^2 + kx + 14 $$, obtenemos:

$$
x^3 + 2x^2 + x + r = x^3 + 2x^2 + kx + 14
$$

Comparando los coeficientes de $$ x $$ y los términos constantes, tenemos:

1. Para el término de $$ x $$:
   $$
   1 = k
   $$

2. Para el término constante:
   $$
   r = 14
   $$

Por lo tanto, el valor de $$ k $$ es $$ \boxed{1} $$.
Para el primer problema, $$ k = -2 $$. Para el segundo problema, $$ k = 1 $$.

- Kalkulatu k-ren balioa \( \left(x^{4}-k x+3\right):(x+1) \) zatiketaren hondarra 2 izan dadin - Kalkulatu k-ren balioa \( \left(x^{3}+2 x^{2}+k x+14\right):(x+1) \) zatiketaren zatidura \( x^{2}+x \) ?

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