Uso del Teorema Fundamental del Cálculo \( \int_{1}^{4} \frac{1}{x} d x \quad \begin{array}{l}\text { La tasa de producción de huevos por hora } \\ \text { en una granja está dada por } P(t)=5 t-t^{2} \\ \text { con t en horas. Calcula el total de huevos } \\ \text { producidos entre las horas } t=1 \text { y } t=3\end{array} \)

Para calcular la integral \( \int_{1}^{4} \frac{1}{x} d x \), recordemos que la función antiderivativa de \( \frac{1}{x} \) es \( \ln|x| \). Evaluando los límites de la integral, obtenemos: \[ \int_{1}^{4} \frac{1}{x} d x = \ln|4| - \ln|1| = \ln(4) - 0 = \ln(4). \] Así que el resultado es \( \ln(4) \). Ahora, para calcular el total de huevos producidos entre las horas \( t=1 \) y \( t=3 \) con la función \( P(t) = 5t - t^2 \), debemos evaluar la integral: \[ \int_{1}^{3} (5t - t^2) dt. \] Calculamos: \[ \int (5t - t^2) dt = \frac{5t^2}{2} - \frac{t^3}{3}, \] Evaluamos de \( 1 \) a \( 3 \): \[ \left[ \frac{5(3)^2}{2} - \frac{(3)^3}{3} \right] - \left[ \frac{5(1)^2}{2} - \frac{(1)^3}{3} \right]. \] Esto resulta en: \[ \left[ \frac{45}{2} - 9 \right] - \left[ \frac{5}{2} - \frac{1}{3} \right] = \left[ \frac{45}{2} - \frac{18}{2} \right] - \left[ \frac{5}{2} - \frac{2}{6} \right]. \] Al simplificar, encontramos el total de huevos producidos en ese intervalo. ¡Así que a celebrar esos riquísimos huevos! 🍳