$$ 23, y=4-\sqrt{4 x+1} $$ funksiyaning grafigiga $$ x_{0}=2 $$ nuqtadan urinma va koordinata óqlari bilan chegaralangan uchburchaknıng yuzini toping.

Question

UpStudy AI · Accepted Answer

1. Вычислим координаты точки касания при $$ x_0=2 $$. Подставляем в функцию:
$$
y(2)=4-\sqrt{4\cdot2+1}=4-\sqrt{8+1}=4-\sqrt{9}=4-3=1.
$$
Точка касания: $$(2,1)$$.

2. Найдём производную функции $$ y=4-\sqrt{4x+1} $$. Для этого запишем:
$$
y=4-(4x+1)^{\frac{1}{2}},
$$
и найдем производную:
$$
y'=-\frac{1}{2}(4x+1)^{-\frac{1}{2}}\cdot4=-\frac{2}{\sqrt{4x+1}}.
$$
При $$ x=2 $$:
$$
y'(2)=-\frac{2}{\sqrt{4\cdot2+1}}=-\frac{2}{\sqrt{9}}=-\frac{2}{3}.
$$

3. Уравнение касательной к графику в точке $$(2,1)$$ имеет вид:
$$
y-1=-\frac{2}{3}(x-2),
$$
откуда
$$
y=1-\frac{2}{3}(x-2).
$$

4. Найдём точки пересечения этой прямой с осями.

- Для нахождения $$x$$-пересечения (при $$y=0$$):
     $$
     0=1-\frac{2}{3}(x-2) \quad\Rightarrow\quad \frac{2}{3}(x-2)=1 \quad\Rightarrow\quad x-2=\frac{3}{2},
     $$
     $$
     x=2+\frac{3}{2}=\frac{7}{2}.
     $$
     Точка пересечения с осью $$x$$: $$\left(\frac{7}{2},0\right)$$.

- Для нахождения $$y$$-пересечения (при $$x=0$$):
     $$
     y=1-\frac{2}{3}(0-2)=1-\frac{2}{3}(-2)=1+\frac{4}{3}=\frac{3}{3}+\frac{4}{3}=\frac{7}{3}.
     $$
     Точка пересечения с осью $$y$$: $$\left(0,\frac{7}{3}\right)$$.

5. Образуем треугольник с вершинами в точках $$(0,0)$$, $$\left(\frac{7}{2}, 0\right)$$ и $$\left(0,\frac{7}{3}\right)$$. Площадь треугольника вычисляем по формуле:
$$
S=\frac{1}{2}\cdot\text{основание}\cdot\text{высота}=\frac{1}{2}\cdot\frac{7}{2}\cdot\frac{7}{3}=\frac{49}{12}.
$$

Ответ: площадь треугольника равна $$\frac{49}{12}$$.
Площадь треугольника, образованного касательной и осями, равна $$\frac{49}{12}$$.

\( 23, y=4-\sqrt{4 x+1} \) funksiyaning grafigiga \( x_{0}=2 \) nuqtadan urinma va koordinata óqlari bilan chegaralangan uchburchaknıng yuzini toping.

Upstudy AI Solution

Answer

Solution

Bonus Knowledge

Related Questions

Latest Geometry Questions