4. Utilice los productos notables estudiados para hallar en cada expresión dada otra equi- valente a ella. a) $$ (\sqrt[3]{5}-\sqrt[3]{2})(\sqrt[3]{5}+\sqrt[3]{2}) $$ b) $$ \left(a^{m}-b^{n}\right)\left(a^{m}+b^{n}\right) $$ c) $$ (x+y+1)(x-y-1) $$ d) $$ \left(2^{x}-3^{x}\right)\left(2^{x}+3^{x}\right) $$ e) $$ \left(x^{2}-y^{2}\right)\left(x^{2}+y^{2}\right)\left(x^{4}+y^{4}\right) $$ f) $$ \left(2 y^{2 / 5}-3 x^{2}\right)\left(2 y^{2 / 5}+3 x^{2}\right) $$

Question

UpStudy AI · Accepted Answer

Para resolver cada una de las expresiones dadas utilizando productos notables, procederemos paso a paso.

### a) $$ (\sqrt[3]{5}-\sqrt[3]{2})(\sqrt[3]{5}+\sqrt[3]{2}) $$

Esta expresión es un caso del producto de la diferencia de cuadrados, que se expresa como:

$$
(a-b)(a+b) = a^2 - b^2
$$

Aquí, $$ a = \sqrt[3]{5} $$ y $$ b = \sqrt[3]{2} $$. Entonces:

$$
(\sqrt[3]{5})^2 - (\sqrt[3]{2})^2 = \sqrt[3]{5^2} - \sqrt[3]{2^2} = \sqrt[3]{25} - \sqrt[3]{4}
$$

### b) $$ \left(a^{m}-b^{n}\right)\left(a^{m}+b^{n}\right) $$

De nuevo, aplicamos el producto de la diferencia de cuadrados:

$$
(a^m - b^n)(a^m + b^n) = (a^m)^2 - (b^n)^2 = a^{2m} - b^{2n}
$$

### c) $$ (x+y+1)(x-y-1) $$

Para esta expresión, utilizamos la propiedad distributiva (también conocida como el método FOIL):

$$
(x+y+1)(x-y-1) = x(x-y-1) + y(x-y-1) + 1(x-y-1)
$$

Calculamos cada parte:

1. $$ x(x-y-1) = x^2 - xy - x $$
2. $$ y(x-y-1) = xy - y^2 - y $$
3. $$ 1(x-y-1) = x - y - 1 $$

Sumando todo:

$$
x^2 - xy - x + xy - y^2 - y + x - y - 1 = x^2 - y^2 - 2y - 1
$$

### d) $$ \left(2^{x}-3^{x}\right)\left(2^{x}+3^{x}\right) $$

Aplicamos el producto de la diferencia de cuadrados:

$$
(2^x - 3^x)(2^x + 3^x) = (2^x)^2 - (3^x)^2 = 2^{2x} - 3^{2x}
$$

### e) $$ \left(x^{2}-y^{2}\right)\left(x^{2}+y^{2}\right)\left(x^{4}+y^{4}\right) $$

Primero, aplicamos el producto de la diferencia de cuadrados:

$$
(x^2 - y^2)(x^2 + y^2) = (x^2)^2 - (y^2)^2 = x^4 - y^4
$$

Luego, multiplicamos por $$ (x^4 + y^4) $$:

$$
(x^4 - y^4)(x^4 + y^4) = (x^4)^2 - (y^4)^2 = x^8 - y^8
$$

### f) $$ \left(2 y^{2 / 5}-3 x^{2}\right)\left(2 y^{2 / 5}+3 x^{2}\right) $$

Aplicamos el producto de la diferencia de cuadrados:

$$
(2y^{2/5} - 3x^2)(2y^{2/5} + 3x^2) = (2y^{2/5})^2 - (3x^2)^2 = 4y^{4/5} - 9x^4
$$

### Resumen de las respuestas:

a) $$ \sqrt[3]{25} - \sqrt[3]{4} $$

b) $$ a^{2m} - b^{2n} $$

c) $$ x^2 - y^2 - 2y - 1 $$

d) $$ 2^{2x} - 3^{2x} $$

e) $$ x^8 - y^8 $$

f) $$ 4y^{4/5} - 9x^4 $$
a) $$ \sqrt[3]{25} - \sqrt[3]{4} $$ b) $$ a^{2m} - b^{2n} $$ c) $$ x^2 - y^2 - 2y - 1 $$ d) $$ 2^{2x} - 3^{2x} $$ e) $$ x^8 - y^8 $$ f) $$ 4y^{4/5} - 9x^4 $$

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