Application 3 ; Soit \( g \) la fct définie par: \( g(x)=\frac{x}{x^{2}+1} \). Déterminer \( D_{g} \) puis montre que \( g(1) \) est une valeur maximale de \( g \) et \( g(-1) \) est une valeur minimale de \( g \).

Pour déterminer le domaine de la fonction \( g(x) = \frac{x}{x^2 + 1} \), on remarque que le dénominateur \( x^2 + 1 \) est toujours positif pour tous les \( x \) réels (car il ne s'annule jamais). Par conséquent, le domaine \( D_g \) de la fonction est \( \mathbb{R} \). Pour montrer que \( g(1) \) est une valeur maximale et \( g(-1) \) est une valeur minimale, calculons les dérivées. La dérivée \( g'(x) \) se calcule avec la règle du quotient : \[ g'(x) = \frac{(x^2 + 1)(1) - x(2x)}{(x^2 + 1)^2} = \frac{x^2 + 1 - 2x^2}{(x^2 + 1)^2} = \frac{1 - x^2}{(x^2 + 1)^2}. \] On trouve les points critiques en mettant \( g'(x) = 0 \) : \[ 1 - x^2 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = \pm 1. \] Pour déterminer la nature de ces points, utilisons le test de la dérivée seconde ou étudions le signe de \( g' \) autour de \( x = 1 \) et \( x = -1 \). On remarque que \( g'(x) \) est positif pour \( x < -1 \) et \( x > 1 \), et négatif entre \( -1 \) et \( 1 \). Ainsi, \( g(1) \) est un maximum local et \( g(-1) \) est un minimum local. Calculons enfin \( g(1) \) et \( g(-1) \) : \[ g(1) = \frac{1}{1^2 + 1} = \frac{1}{2}, \quad g(-1) = \frac{-1}{(-1)^2 + 1} = \frac{-1}{2}. \] Ainsi, \( g(1) = \frac{1}{2} \) est une valeur maximale et \( g(-1) = \frac{-1}{2} \) est une valeur minimale de \( g \).