\( \int _{}^{}\frac{1}{1+\sin (x)^{2}} d x \)

لحساب التكامل: \[ \int \frac{1}{1 + \sin^2(x)} \, dx \] نتبع الخطوات التالية: 1. **التبسيط باستخدام الهوية المثلثية:** نستخدم الهوية المثلثية لتحويل المقام: \[ 1 + \sin^2(x) = \frac{3 - \cos(2x)}{2} \] إذن يصبح التكامل: \[ \int \frac{2}{3 - \cos(2x)} \, dx \] 2. **التبديل بالمتغير:** نجري التبديل التالي: \[ u = 2x \quad \Rightarrow \quad du = 2\,dx \quad \Rightarrow \quad dx = \frac{du}{2} \] يبسط التكامل إلى: \[ \int \frac{2}{3 - \cos(u)} \cdot \frac{du}{2} = \int \frac{1}{3 - \cos(u)} \, du \] 3. **استخدام صيغة التكامل القياسية:** نستخدم الصيغة المعروفة للتكامل: \[ \int \frac{1}{a - b\cos(u)} \, du = \frac{2}{\sqrt{a^2 - b^2}} \tan^{-1}\left( \tan\left(\frac{u}{2}\right) \cdot \sqrt{\frac{a + b}{a - b}} \right) + C \] في حالتنا، \( a = 3 \) و\( b = 1 \)، لذا نحصل على: \[ \int \frac{1}{3 - \cos(u)} \, du = \frac{2}{\sqrt{9 - 1}} \tan^{-1}\left( \tan\left(\frac{u}{2}\right) \cdot \sqrt{\frac{3 + 1}{3 - 1}} \right) + C = \frac{2}{2\sqrt{2}} \tan^{-1}\left( \tan\left(\frac{u}{2}\right) \cdot \sqrt{2} \right) + C \] أي: \[ \int \frac{1}{3 - \cos(u)} \, du = \frac{1}{\sqrt{2}} \tan^{-1}\left( \sqrt{2} \tan\left(\frac{u}{2}\right) \right) + C \] 4. **استرجاع المتغير الأصلي:** نظرًا لأن \( u = 2x \)، نحصل على: \[ \frac{1}{\sqrt{2}} \tan^{-1}\left( \sqrt{2} \tan(x) \right) + C \] **إذن، حل التكامل هو:** \[ \int \frac{1}{1 + \sin^2(x)} \, dx = \frac{1}{\sqrt{2}} \tan^{-1}\left( \sqrt{2} \tan(x) \right) + C \] حيث \( C \) هو ثابت التكامل.