Partie A: Soit \( f \) la fonction définie sur \( \mathbb{R} \) par : \( f(x)=\frac{1}{2} \ln \left(\frac{1+x}{1-x}\right) \). \( \left(C_{f}\right) \) sa courbe représentative dans un repère orthonormé \( (\boldsymbol{O}, \vec{i}, \vec{j}) \), d'unité 4 cm . 1. a) Justifier que l'ensemble de définition de \( f \) est \( ]-1 ; 1 \) [. b) Montrer que \( f \) est impaire. c) Dresser le tableau de variation de \( f \). d) Montrer que \( f \) réalise une bijection de ]-1;1[ sur un intervalle que l'on précisera \( \mathbb{R} \) 2. Soit \( \boldsymbol{g}=f^{-1} \) ( \( \boldsymbol{g} \) est la réciproque de \( f \) ). a) Montrer que pour tout réel \( x, g(x)=\frac{e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}} \). b) Tracer la courbe \( \left(\boldsymbol{C}_{g}\right) \) de la fonction \( g \) dans le repère ( \( \boldsymbol{O}, \vec{i}, \vec{j} \) ). 3. a) Montrer que l'aire de la partie du plan comprise entre les deux courbes ( \( \boldsymbol{C}_{f} \) ) et \( \left(\boldsymbol{C}_{g}\right) \) et située dans le carré défini par: les droites d'équations, \( -\mathbf{1} \leq \boldsymbol{x} \leq \mathbf{1} \) et \( -\mathbf{1} \leq \boldsymbol{y} \leq \mathbf{1} \), est \( \mathcal{A}=\int_{-1}^{1}(f(x)-g(x)) d x=4 \int_{0}^{1}(x-g(x)) d x \) u.a b) Calculer alors \( \mathcal{A} \).

Pour résoudre ce problème, nous allons procéder étape par étape. ### Partie A #### 1. a) Justifier que l'ensemble de définition de \( f \) est \( ]-1 ; 1 [ \). La fonction \( f(x) = \frac{1}{2} \ln \left(\frac{1+x}{1-x}\right) \) est définie lorsque l'argument du logarithme est positif. Ainsi, nous devons avoir : \[ \frac{1+x}{1-x} > 0 \] Cela se produit lorsque : 1. \( 1+x > 0 \) et \( 1-x > 0 \) (c'est-à-dire \( x > -1 \) et \( x < 1 \)) 2. \( 1+x < 0 \) et \( 1-x < 0 \) (ce qui n'est pas possible car cela impliquerait \( x < -1 \) et \( x > 1 \) simultanément) Donc, l'ensemble de définition de \( f \) est \( ]-1 ; 1 [ \). #### 1. b) Montrer que \( f \) est impaire. Pour montrer que \( f \) est impaire, nous devons prouver que \( f(-x) = -f(x) \) pour tout \( x \in ]-1 ; 1 [ \). Calculons \( f(-x) \) : \[ f(-x) = \frac{1}{2} \ln \left(\frac{1 - x}{1 + x}\right) \] En utilisant la propriété du logarithme \( \ln(a/b) = \ln(a) - \ln(b) \), nous avons : \[ f(-x) = \frac{1}{2} \left( \ln(1 - x) - \ln(1 + x) \right) \] En utilisant la propriété \( \ln(a) - \ln(b) = -(\ln(b) - \ln(a)) \), nous pouvons écrire : \[ f(-x) = -\frac{1}{2} \left( \ln(1 + x) - \ln(1 - x) \right) = -f(x) \] Ainsi, \( f \) est impaire. #### 1. c) Dresser le tableau de variation de \( f \). Pour dresser le tableau de variation, nous devons d'abord calculer la dérivée de \( f \). Calculons \( f'(x) \) : \[ f'(x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\frac{1+x}{1-x}} \cdot \frac{(1-x) - (1+x)}{(1-x)^2} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1-x - 1 - x}{1+x} \cdot \frac{1}{(1-x)^2} = \frac{-1}{(1-x)(1+x)} \] La dérivée \( f'(x) \) est négative pour \( x \in ]-1 ; 1 [ \), ce qui signifie que \( f \) est décroissante sur cet intervalle. - \( f(-1) = -\infty \) - \( f(1) = +\infty \) Le tableau de variation est donc : \[ \begin{array}{|c|c|c|c|} \hline x & -1 & 0 & 1 \\ \hline f'(x) & - & 0 & - \\ \hline f(x) & -\infty & 0 & +\infty \\ \hline \end{array} \] #### 1. d) Montrer que \( f \) réalise une bijection de \( ]-1;1[ \) sur un intervalle que l'on précisera \( \mathbb{R} \). Puisque \( f \) est continue et strictement décroissante sur \( ]-1; 1 [ \), elle est bijective. De plus, nous avons montré que \( f(-1) = -\infty \) et \( f(1) = +\infty \). Ainsi, \( f \) réalise une bijection de \( ]-1; 1 [ \) sur \( \mathbb{R} \). ### Partie B #### 2. a) Montrer que pour tout réel \( x, g(x)=\frac{e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}} \). Pour trouver \( g(x) = f^{-1}(x) \), nous devons résoudre l'équation \( f(y) = x \) : \[ \frac{1}{2} \ln \left(\frac{1+y}{1-y}\right) = x \] En multipliant par 2 et exponentiant, nous obtenons : \[ \frac{1+y}{1-y} = e^{2x} \] En réarrangeant, nous avons : \[ 1+y = e^{2x}(1-y) \] \[ 1+y = e^{2x} - e^{2x}y \] \[ y + e^{2x}y = e^{2x} - 1 \] \[ y(1 + e^{2x}) = e^{2x} - 1 \] \[ y = \frac{e^{2x} - 1}{e^{2x} + 1} \] En utilisant la relation \( e^{2x} = (e^x)^2 \), nous avons : \[ g(x) = \frac{e^{x} - e^{-x}}{e^{x} + e^{-x}} \] #### 2. b) Tracer la courbe \( \left(\boldsymbol{C}_{g}\right) \) de la fonction \( g \) dans le repère \( (\boldsymbol{O}, \vec{i}, \vec{j}) \). Pour tracer la courbe \( \left(\boldsymbol{C}_{g}\right) \), nous allons évaluer \( g(x) \) pour quelques valeurs de \( x \) dans \( \mathbb{R} \) : - Pour \( x = 0 \), \( g(0) = 0 \) - Pour \( x = 1 \), \( g(1) = \frac{e - e^{-1}}{e + e^{-1}} \) - Pour \( x = -1 \), \( g(-1) = \frac{e^{-1} - e}{e^{-1} + e} \) Nous pouvons tracer ces points et dessiner la courbe. ### Partie C #### 3. a) Montrer que l'aire de la partie du plan comprise entre les deux courbes \( \boldsymbol{C}_{f} \) et \( \left(\boldsymbol{C}_{g}\right) \) est \( \math