trinomio cuadrado perfecto por adicion y sustraccion $$ m^{4}+4 m^{2} n^{2}+16 n^{4} $$ $$ 4 a^{4}+8 a^{2} b^{2}+96 b^{2} $$

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# Trinomios Cuadrados Perfectos por Adición y Sustracción

Un **trinomio cuadrado perfecto** es un polinomio de la forma $$ a^2 \pm 2ab + b^2 = (a \pm b)^2 $$. Para convertir un trinomio en un cuadrado perfecto mediante **adición y sustracción**, utilizamos el método de **completar el cuadrado**. A continuación, aplicamos este método a los trinomios proporcionados.

## 1. $$ m^{4} + 4m^{2}n^{2} + 16n^{4} $$

### Paso 1: Identificar una estructura de cuadrado perfecto
Observamos que los primeros dos términos sugieren una posible estructura de cuadrado perfecto:

$$
(m^{2})^2 + 2 \cdot m^{2} \cdot (2n^{2}) + (2n^{2})^2 = (m^{2} + 2n^{2})^2
$$

Sin embargo, al expandir $$ (m^{2} + 2n^{2})^2 $$, obtenemos:

$$
(m^{2} + 2n^{2})^2 = m^{4} + 4m^{2}n^{2} + 4n^{4}
$$

### Paso 2: Comparar y ajustar
Comparando con el trinomio original:

$$
m^{4} + 4m^{2}n^{2} + 16n^{4} = (m^{2} + 2n^{2})^2 + 12n^{4}
$$

### Resultado Final
Así, el trinomio puede expresarse como:

$$
m^{4} + 4m^{2}n^{2} + 16n^{4} = (m^{2} + 2n^{2})^2 + 12n^{4}
$$

## 2. $$ 4a^{4} + 8a^{2}b^{2} + 96b^{4} $$

### Paso 1: Factor común
Primero, factorizamos el coeficiente común:

$$
4a^{4} + 8a^{2}b^{2} + 96b^{4} = 4(a^{4} + 2a^{2}b^{2} + 24b^{4})
$$

### Paso 2: Identificar una estructura de cuadrado perfecto dentro del paréntesis
Consideramos la posible estructura de cuadrado perfecto para $$ a^{4} + 2a^{2}b^{2} + 24b^{4} $$:

$$
(a^{2})^2 + 2 \cdot a^{2} \cdot b^{2} + (b^{2})^2 = (a^{2} + b^{2})^2
$$

Al expandir $$ (a^{2} + b^{2})^2 $$, obtenemos:

$$
(a^{2} + b^{2})^2 = a^{4} + 2a^{2}b^{2} + b^{4}
$$

### Paso 3: Comparar y ajustar
Comparando con el trinomio dentro del paréntesis:

$$
a^{4} + 2a^{2}b^{2} + 24b^{4} = (a^{2} + b^{2})^2 + 23b^{4}
$$

### Resultado Final
Por lo tanto, el trinomio original se puede expresar como:

$$
4a^{4} + 8a^{2}b^{2} + 96b^{4} = 4\left((a^{2} + b^{2})^2 + 23b^{4}\right)
$$

## Conclusión

Ambos trinomios proporcionados no son **cuadrados perfectos** por sí mismos, pero pueden **exprésarse** como un cuadrado perfecto más un término adicional mediante adición y sustracción. Este método es útil para simplificar expresiones polinómicas y facilitar operaciones posteriores, como la resolución de ecuaciones o la integración en cálculo.
# Trinomios Cuadrados Perfectos por Adición y Sustracción Un **trinomio cuadrado perfecto** es un polinomio de la forma $$ a^2 \pm 2ab + b^2 = (a \pm b)^2 $$. Para convertir un trinomio en un cuadrado perfecto, utilizamos el método de **completar el cuadrado**. ## 1. $$ m^{4} + 4m^{2}n^{2} + 16n^{4} $$ ### Paso 1: Identificar la estructura El trinomio puede ser visto como $$ (m^{2})^2 + 2 \cdot m^{2} \cdot (2n^{2}) + (2n^{2})^2 $$, lo que sugiere que es un cuadrado perfecto. ### Paso 2: Expresar como un cuadrado $$ m^{4} + 4m^{2}n^{2} + 16n^{4} = (m^{2} + 2n^{2})^2 + 12n^{4} $$ ### Resultado Final $$ m^{4} + 4m^{2}n^{2} + 16n^{4} = (m^{2} + 2n^{2})^2 + 12n^{4} $$ ## 2. $$ 4a^{4} + 8a^{2}b^{2} + 96b^{4} $$ ### Paso 1: Factor común Primero, factorizamos el coeficiente común: $$ 4a^{4} + 8a^{2}b^{2} + 96b^{4} = 4(a^{4} + 2a^{2}b^{2} + 24b^{4}) $$ ### Paso 2: Identificar la estructura Consideramos la posible estructura de cuadrado perfecto para $$ a^{4} + 2a^{2}b^{2} + 24b^{4} $$: $$ (a^{2})^2 + 2 \cdot a^{2} \cdot b^{2} + (b^{2})^2 = (a^{2} + b^{2})^2 $$ ### Paso 3: Expresar como un cuadrado $$ a^{4} + 2a^{2}b^{2} + 24b^{4} = (a^{2} + b^{2})^2 + 23b^{4} $$ ### Resultado Final $$ 4a^{4} + 8a^{2}b^{2} + 96b^{4} = 4\left((a^{2} + b^{2})^2 + 23b^{4}\right) $$ ## Conclusión Ambos trinomios no son **cuadrados perfectos** por sí mismos, pero pueden **exprésarse** como un cuadrado perfecto más un término adicional mediante adición y sustracción. Este método es útil para simplificar expresiones polinómicas y facilitar operaciones posteriores.

trinomio cuadrado perfecto por adicion y sustraccion \( m^{4}+4 m^{2} n^{2}+16 n^{4} \) \( 4 a^{4}+8 a^{2} b^{2}+96 b^{2} \)

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