$$ 16 x ^ { 2 } + 4 y ^ { 2 } + 32 x + 16 y - 32 = 0 $$

Question

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Empezamos con la ecuación:

$$
16x^2 + 4y^2 + 32x + 16y - 32 = 0
$$

**Paso 1. Agrupar términos en $$ x $$ y $$ y $$**

Agrupamos los términos que contienen a $$ x $$ y a $$ y $$:

$$
16x^2 + 32x + 4y^2 + 16y = 32
$$

Lo que se puede escribir como:

$$
16(x^2 + 2x) + 4(y^2 + 4y) = 32
$$

**Paso 2. Completar el cuadrado para $$ x $$ y $$ y $$**

Para $$ x^2 + 2x $$, sumamos y restamos el término necesario para formar un cuadrado perfecto:

$$
x^2 + 2x = \left(x+1\right)^2 - 1
$$

Para $$ y^2 + 4y $$:

$$
y^2 + 4y = \left(y+2\right)^2 - 4
$$

Sustituimos en la ecuación:

$$
16\Big[(x+1)^2 - 1\Big] + 4\Big[(y+2)^2 - 4\Big] = 32
$$

**Paso 3. Simplificar la expresión**

Distribuimos los coeficientes:

$$
16(x+1)^2 - 16 + 4(y+2)^2 - 16 = 32
$$

Sumamos los términos constantes:

$$
16(x+1)^2 + 4(y+2)^2 - 32 = 32
$$

Aislamos los términos con $$ x $$ y $$ y $$ sumando 32 a ambos lados:

$$
16(x+1)^2 + 4(y+2)^2 = 64
$$

**Paso 4. Dividir para obtener la forma canónica**

Dividimos toda la ecuación entre 64:

$$
\frac{16}{64}(x+1)^2 + \frac{4}{64}(y+2)^2 = 1
$$

Simplificamos las fracciones:

$$
\frac{(x+1)^2}{4} + \frac{(y+2)^2}{16} = 1
$$

**Paso 5. Interpretar la forma canónica**

La ecuación

$$
\frac{(x+1)^2}{4} + \frac{(y+2)^2}{16} = 1
$$

corresponde a la forma estandar de la elipse:

$$
\frac{(x-h)^2}{a^2} + \frac{(y-k)^2}{b^2} = 1
$$

donde el centro es $$ (h, k) $$. En nuestro caso, $$ h = -1 $$ y $$ k = -2 $$. Además, $$ a^2 = 4 $$ y $$ b^2 = 16 $$; por lo que $$ a = 2 $$ y $$ b = 4 $$.

La elipse está centrada en $$ (-1,-2) $$, con semieje horizontal $$ 2 $$ y semieje vertical $$ 4 $$.

La solución final en forma reducida es:

$$
\frac{(x+1)^2}{4} + \frac{(y+2)^2}{16} = 1
$$
La ecuación simplificada es: $$ \frac{(x+1)^2}{4} + \frac{(y+2)^2}{16} = 1 $$ Esta es la forma canónica de una elipse centrada en $$ (-1, -2) $$ con semieje horizontal de longitud 2 y semieje vertical de longitud 4.

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