3. C5:H22 (Unicamp-2016) A solução da equação na variável real \( x \), \( \log _{x}(x+6)=2 \), é um número \( \begin{array}{ll}\text { a) primo. } & \text { c) negativo. } \\ \text { b) par. } & \text { d) irracional. } \\ \text { 4. C5:H22 (UECE-2018) Se } x \text { é o logaritmo de } 16 \text { na base } 2 \text {, então o } \\ \text { logaritmo (na base } 2 \text { ) de } x^{2}-5 x+5 \text { é igual a }\end{array} \)

A primeira equação, \( \log_{x}(x+6)=2 \), pode ser reescrita na forma exponencial como \( x^2 = x + 6 \). Isso leva a uma equação quadrática \( x^2 - x - 6 = 0 \), que pode ser fatorada como \( (x-3)(x+2) = 0 \). Portanto, as possíveis soluções são \( x = 3 \) e \( x = -2 \). No entanto, como logaritmos de bases negativas não são válidos, a solução real e positiva é \( x = 3 \), que é um número primo. Agora, para a segunda questão, como \( x \) é o logaritmo de \( 16 \) na base \( 2 \), temos \( x = 4 \) (já que \( 2^4 = 16 \)). Assim, precisamos calcular o logaritmo de \( x^2 - 5x + 5 \), ou seja, \( 4^2 - 5 \cdot 4 + 5 = 16 - 20 + 5 = 1 \). Como \( \log_{2}(1) = 0 \), a resposta é zero.