Jika \( \tan A=\frac{3}{4} \) dan sudut A berada di kuadran III, hitunglah nilai \( \cos (2 A) \). A. \( \frac{4}{25} \) B. \( \frac{7}{25} \) C. \( \frac{9}{25} \) D. \( \frac{18}{25} \) E. \( \frac{24}{25} \)

Untuk menghitung \( \cos(2A) \), kita akan menggunakan rumus ganda untuk cosinus, yaitu: \[ \cos(2A) = \cos^2(A) - \sin^2(A) \] Dari \( \tan A = \frac{3}{4} \) dan karena A berada di kuadran III, kita dapat menentukan \( \sin A \) dan \( \cos A \). Karena \( \tan A = \frac{\sin A}{\cos A} \), kita bisa memvisualisasikan sudut A sebagai segitiga dengan sisi yang berlawanan (3) dan sisi yang bersebelahan (4). Dengan menggunakan teorema Pythagoras: \[ r = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \] Jadi, \[ \sin A = -\frac{3}{5} \quad (\text{di kuadran III, sin negatif}), \] \[ \cos A = -\frac{4}{5} \quad (\text{di kuadran III, cos negatif}). \] Sekarang, kita substitusikan nilai \( \sin A \) dan \( \cos A \) ke dalam rumus untuk \( \cos(2A) \): \[ \cos(2A) = \left(-\frac{4}{5}\right)^2 - \left(-\frac{3}{5}\right)^2 \] \[ = \frac{16}{25} - \frac{9}{25} \] \[ = \frac{7}{25} \] Dengan demikian, nilai \( \cos(2A) \) adalah \( \frac{7}{25} \), jadi jawabannya adalah B.