69. Рівнобедрені трикутники $$ A B C $$ і $$ A B D $$ мають спiлвну основу $$ A B $$. Кут мізж іхніми площинами дорівнює $$ 60^{\circ} $$. Знайдіть відрізок $$ C D $$, якщо $$ B C=15 \mathrm{~cm}, B D=13 \mathrm{~cm} $$, $$ A B=24 \mathrm{~cm} $$.

Question

UpStudy AI · Accepted Answer

Давайте розглянемо цю задачу крок за кроком.

1. **Визначення відомих умов:**
   - Трикутники $$ ABC $$ і $$ ABD $$ є рівнобедреними.
   - Спільна основа $$ AB $$.
   - Кут між площинами трикутників дорівнює $$ 60^{\circ} $$.
   - Довжини сторін: $$ BC = 15 \, \text{cm} $$, $$ BD = 13 \, \text{cm} $$, $$ AB = 24 \, \text{cm} $$.

2. **Визначення координат точок:**
   - Розмістимо точки в системі координат:
     - Нехай точка $$ A $$ має координати $$ (0, 0, 0) $$.
     - Точка $$ B $$ буде на осі $$ x $$: $$ B(24, 0, 0) $$.
     - Точка $$ C $$ буде на відстані $$ BC = 15 \, \text{cm} $$ від точки $$ B $$.
     - Точка $$ D $$ буде на відстані $$ BD = 13 \, \text{cm} $$ від точки $$ B $$.

3. **Визначення координат точок $$ C $$ і $$ D $$:**
   - Для точки $$ C $$ ми можемо використати тригонометрію, оскільки трикутник $$ ABC $$ рівнобедрений.
   - Висота $$ h_C $$ трикутника $$ ABC $$ може бути знайдена за формулою:
     $$
     h_C = \sqrt{BC^2 - \left(\frac{AB}{2}\right)^2} = \sqrt{15^2 - 12^2} = \sqrt{225 - 144} = \sqrt{81} = 9 \, \text{cm}
     $$
   - Таким чином, координати точки $$ C $$ будуть $$ C(24 - 12, 9, 0) = C(12, 9, 0) $$.

- Аналогічно, для точки $$ D $$:
     $$
     h_D = \sqrt{BD^2 - \left(\frac{AB}{2}\right)^2} = \sqrt{13^2 - 12^2} = \sqrt{169 - 144} = \sqrt{25} = 5 \, \text{cm}
     $$
   - Точка $$ D $$ буде на відстані $$ 5 \, \text{cm} $$ над основою, отже, координати точки $$ D $$ будуть $$ D(12, 0, 5) $$.

4. **Визначення відстані $$ CD $$:**
   - Відстань між точками $$ C(12, 9, 0) $$ і $$ D(12, 0, 5) $$ можна знайти за формулою відстані між двома точками в тривимірному просторі:
     $$
     CD = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}
     $$
   - Підставимо координати:
     $$
     CD = \sqrt{(12 - 12)^2 + (0 - 9)^2 + (5 - 0)^2} = \sqrt{0 + 81 + 25} = \sqrt{106}
     $$

5. **Фінальний результат:**
   - Таким чином, довжина відрізка $$ CD $$ дорівнює $$ \sqrt{106} \, \text{cm} $$.

Отже, відрізок $$ CD $$ дорівнює $$ \sqrt{106} \, \text{cm} $$.
Відрізок $$ CD $$ має довжину $$ \sqrt{106} \, \text{cm} $$.

Upstudy AI Solution

Answer

Solution

The Deep Dive

Related Questions

Latest Geometry Questions