5. Un móvil avanza $$ 10,0 \mathrm{~km} $$ a $$ 30,0^{\circ} $$ del Norte al Este, luego avanza $$ 30,0 \mathrm{~km} $$ a $$ 20,0^{\circ} $$ del Norte a Oeste. Obtenga la magnitud y dirección del vector resultante del desplazamiento del móvil Dibuje en el plano los vectores. Respuesta: $$ 37,2 \mathrm{~km} $$ y $$ 98,2^{\circ} $$

Question

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1. **Descomposición de los desplazamientos en componentes**

- Para el primer desplazamiento de $$10,0\,\mathrm{km}$$ a $$30,0^\circ$$ del Norte al Este, el ángulo se mide desde el Norte hacia el Este. Sus componentes son:
     $$
     x_1 = 10,0\,\mathrm{km} \cdot \sin 30,0^\circ = 10,0 \times 0,5 = 5,0\,\mathrm{km}
     $$
     $$
     y_1 = 10,0\,\mathrm{km} \cdot \cos 30,0^\circ = 10,0 \times 0,8660 \approx 8,66\,\mathrm{km}
     $$

- Para el segundo desplazamiento de $$30,0\,\mathrm{km}$$ a $$20,0^\circ$$ del Norte a Oeste, el ángulo se mide desde el Norte hacia el Oeste, por lo que su componente en $$x$$ será negativa:
     $$
     x_2 = -30,0\,\mathrm{km} \cdot \sin 20,0^\circ = -30,0 \times 0,3420 \approx -10,26\,\mathrm{km}
     $$
     $$
     y_2 = 30,0\,\mathrm{km} \cdot \cos 20,0^\circ = 30,0 \times 0,9397 \approx 28,19\,\mathrm{km}
     $$

2. **Cálculo de las componentes del vector resultante**

Sumamos las componentes $$x$$ y $$y$$ de ambos desplazamientos:
   $$
   x_{\text{total}} = x_1 + x_2 = 5,0\,\mathrm{km} + (-10,26\,\mathrm{km}) \approx -5,26\,\mathrm{km}
   $$
   $$
   y_{\text{total}} = y_1 + y_2 = 8,66\,\mathrm{km} + 28,19\,\mathrm{km} \approx 36,85\,\mathrm{km}
   $$

3. **Cálculo de la magnitud del vector resultante**

La magnitud se obtiene mediante:
   $$
   R = \sqrt{x_{\text{total}}^2 + y_{\text{total}}^2} = \sqrt{(-5,26)^2 + (36,85)^2}
   $$
   $$
   R = \sqrt{27,67 + 1358,5} = \sqrt{1386,17} \approx 37,2\,\mathrm{km}
   $$

4. **Cálculo de la dirección del vector resultante**

Dado que $$x_{\text{total}} < 0$$ y $$y_{\text{total}} > 0$$, el vector se encuentra en el segundo cuadrante. Si medimos el ángulo $$\theta$$ respecto al eje $$x$$ (hacia el Este) en sentido antihorario, tenemos:
   $$
   \tan \theta = \frac{y_{\text{total}}}{|x_{\text{total}}|} = \frac{36,85}{5,26} \approx 7,00
   $$
   $$
   \theta' = \arctan(7,00) \approx 81,87^\circ
   $$
   
   Debido a que la componente $$x$$ es negativa, el ángulo medido desde el eje $$x$$ es:
   $$
   \theta = 180^\circ - 81,87^\circ \approx 98,13^\circ
   $$
   
   Es decir, el vector resultante forma un ángulo de aproximadamente $$98,2^\circ$$ medido desde el Este en sentido antihorario (o desde el eje $$x$$).

5. **Dibujo en el plano**

En el plano cartesiano:
   - El primer vector parte del origen, se dirige hacia el primer cuadrante con $$5,0\,\mathrm{km}$$ hacia el Este y $$8,66\,\mathrm{km}$$ hacia el Norte.
   - El segundo vector parte del origen, pero se dirige con $$10,26\,\mathrm{km}$$ hacia el Oeste y $$28,19\,\mathrm{km}$$ hacia el Norte.
   - La suma vectorial da un vector que apunta al segundo cuadrante, con la componente $$x$$ negativa y grande componente $$y$$ positiva.

6. **Respuesta Final**

La magnitud del vector resultante es $$\,37,2\,\mathrm{km}$$ y su dirección es de $$98,2^\circ$$ (medido desde el eje este en sentido antihorario).
El vector resultante tiene una magnitud de $$37,2\,\mathrm{km}$$ y una dirección de $$98,2^\circ$$.

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