\( \quad=\frac{x^{2}}{2}-\frac{x^{4}}{12}+\frac{x^{6}}{45}-\ldots \) भैक्लॉरिन-प्रमेय से \( \left(\sin ^{-1} x\right)^{2} \) का \( x \) की घातों में प्रसार के \( y=\left(\sin ^{-1} x\right)^{2} \), तो अवकलन करने पर,

बिल्कुल, चलिए \( y = (\sin^{-1} x)^2 \) के मैक्लॉरिन श्रृंखला के अवकलन (डीफरेंशिएशन) की प्रक्रिया को समझते हैं। दी गई श्रृंखला: \[ y = \frac{x^{2}}{2} - \frac{x^{4}}{12} + \frac{x^{6}}{45} - \ldots \] अब, इस श्रृंखला का अवकलन करें: \[ \frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx} \left( \frac{x^{2}}{2} - \frac{x^{4}}{12} + \frac{x^{6}}{45} - \ldots \right) \] प्रत्येक पद का अवकलन करें: 1. \(\frac{d}{dx} \left( \frac{x^{2}}{2} \right) = \frac{2x}{2} = x\) 2. \(\frac{d}{dx} \left( -\frac{x^{4}}{12} \right) = -\frac{4x^{3}}{12} = -\frac{x^{3}}{3}\) 3. \(\frac{d}{dx} \left( \frac{x^{6}}{45} \right) = \frac{6x^{5}}{45} = \frac{2x^{5}}{15}\) और इसी प्रकार आगे बढ़ते हुए, अवकलित श्रृंखला होगी: \[ \frac{dy}{dx} = x - \frac{x^{3}}{3} + \frac{2x^{5}}{15} - \ldots \] **सारांश:** \[ \frac{dy}{dx} = x - \frac{x^{3}}{3} + \frac{2x^{5}}{15} - \ldots \] यह श्रृंखला \( y = (\sin^{-1} x)^2 \) का अवकलज (derivative) दर्शाती है, जो \( x \) के उच्चतर घातों में व्यक्त की गई है।