b. Ecuación Diferencial: \( y^{\prime \prime}-4 y^{\prime}+4 y=0 \) Posible Solución: \( y=C 1^{\star} e^{(2 x)}+C 2^{\star} x e^{(2 x)} \) (donde \( C 1 \) y C2 son constantes) c. Ecuación Diferencial: \( 2 y^{\prime}+y=0 \) Posible Solución: \( y=e^{(-x / 2)} \) d. Ecuación Diferencial: \( y^{\prime \prime}-y=4 e^{(-x)} \)

**b. Ecuación Diferencial: \( y''-4y'+4y=0 \)** 1. Se asume solución de la forma \( y=e^{rx} \). 2. Sustituyendo en la ecuación se obtiene la ecuación característica: \[ r^2-4r+4=0 \] 3. Factorizando: \[ (r-2)^2=0 \] Existe raíz doble \( r=2 \). 4. La solución general de la ecuación homogénea con raíz doble es: \[ y(x)=C_1e^{2x}+C_2 x e^{2x} \] donde \( C_1 \) y \( C_2 \) son constantes arbitrarias. --- **c. Ecuación Diferencial: \( 2y'+y=0 \)** 1. Se escribe la ecuación en forma estándar: \[ y'+\frac{1}{2}y=0 \] 2. Se usa el método de separación de variables: \[ \frac{dy}{y}=-\frac{1}{2}dx \] 3. Integrando ambos lados: \[ \int \frac{1}{y}\,dy = -\frac{1}{2}\int dx \quad \Longrightarrow \quad \ln |y|=-\frac{x}{2}+C \] 4. Elevando ambos lados a la potencia de \( e \): \[ y=C_1e^{-x/2} \] donde \( C_1 \) es una constante arbitraria. *(La solución dada \( y=e^{-x/2} \) corresponde a una solución particular para \( C_1=1 \).)* --- **d. Ecuación Diferencial: \( y''-y=4e^{-x} \)** 1. **Solución de la ecuación homogénea:** La parte homogénea es: \[ y''-y=0 \] Se asume \( y=e^{rx} \) y se obtiene la ecuación característica: \[ r^2-1=0 \] cuyas raíces son: \[ r=1 \quad \text{y} \quad r=-1. \] Por lo tanto, la solución general homogénea es: \[ y_h(x)=C_1e^{x}+C_2e^{-x}. \] 2. **Obtención de la solución particular:** Se desea un \( y_p \) que satisfaga: \[ y''-y=4e^{-x}. \] Dado que el lado derecho es de la forma \( Ae^{-x} \) y \( e^{-x} \) es solución de la homogénea (por \( r=-1 \)), se propone multiplicar por \( x \). Sea: \[ y_p(x)=Ax e^{-x}. \] Se calculan las derivadas: - Primera derivada: \[ y_p'(x)=A e^{-x}-Ax e^{-x}. \] - Segunda derivada: \[ y_p''(x)=-A e^{-x} -A e^{-x}+Ax e^{-x} = -2Ae^{-x}+Ax e^{-x}. \] 3. Sustituyendo \( y_p \), \( y_p' \) y \( y_p'' \) en la ecuación diferencial: \[ y_p''-y_p = \bigl(-2Ae^{-x}+Ax e^{-x}\bigr)-\bigl(Ax e^{-x}\bigr)=-2Ae^{-x}. \] Se iguala a \( 4e^{-x} \): \[ -2Ae^{-x}=4e^{-x} \quad \Longrightarrow \quad -2A=4 \quad \Longrightarrow \quad A=-2. \] 4. La solución particular es: \[ y_p(x)=-2x e^{-x}. \] 5. **Solución general de la ecuación completa:** \[ y(x)=y_h(x)+y_p(x)=C_1e^{x}+C_2e^{-x}-2xe^{-x}. \]