b. Ecuación Diferencial: $$ y^{\prime \prime}-4 y^{\prime}+4 y=0 $$ Posible Solución: $$ y=C 1^{\star} e^{(2 x)}+C 2^{\star} x e^{(2 x)} $$ (donde $$ C 1 $$ y C2 son constantes) c. Ecuación Diferencial: $$ 2 y^{\prime}+y=0 $$ Posible Solución: $$ y=e^{(-x / 2)} $$ d. Ecuación Diferencial: $$ y^{\prime \prime}-y=4 e^{(-x)} $$

Question

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**b. Ecuación Diferencial: $$ y''-4y'+4y=0 $$**

1. Se asume solución de la forma $$ y=e^{rx} $$.  
2. Sustituyendo en la ecuación se obtiene la ecuación característica:  
   $$
   r^2-4r+4=0
   $$
3. Factorizando:
   $$
   (r-2)^2=0
   $$
   Existe raíz doble $$ r=2 $$.
4. La solución general de la ecuación homogénea con raíz doble es:  
   $$
   y(x)=C_1e^{2x}+C_2 x e^{2x}
   $$
   donde $$ C_1 $$ y $$ C_2 $$ son constantes arbitrarias.

---

**c. Ecuación Diferencial: $$ 2y'+y=0 $$**

1. Se escribe la ecuación en forma estándar:  
   $$
   y'+\frac{1}{2}y=0
   $$
2. Se usa el método de separación de variables:  
   $$
   \frac{dy}{y}=-\frac{1}{2}dx
   $$
3. Integrando ambos lados:  
   $$
   \int \frac{1}{y}\,dy = -\frac{1}{2}\int dx \quad \Longrightarrow \quad \ln |y|=-\frac{x}{2}+C
   $$
4. Elevando ambos lados a la potencia de $$ e $$:
   $$
   y=C_1e^{-x/2}
   $$
   donde $$ C_1 $$ es una constante arbitraria.  
   *(La solución dada $$ y=e^{-x/2} $$ corresponde a una solución particular para $$ C_1=1 $$.)*

---

**d. Ecuación Diferencial: $$ y''-y=4e^{-x} $$**

1. **Solución de la ecuación homogénea:**  
   La parte homogénea es:  
   $$
   y''-y=0
   $$
   Se asume $$ y=e^{rx} $$ y se obtiene la ecuación característica:
   $$
   r^2-1=0
   $$
   cuyas raíces son:
   $$
   r=1 \quad \text{y} \quad r=-1.
   $$
   Por lo tanto, la solución general homogénea es:
   $$
   y_h(x)=C_1e^{x}+C_2e^{-x}.
   $$

2. **Obtención de la solución particular:**  
   Se desea un $$ y_p $$ que satisfaga:
   $$
   y''-y=4e^{-x}.
   $$
   Dado que el lado derecho es de la forma $$ Ae^{-x} $$ y $$ e^{-x} $$ es solución de la homogénea (por $$ r=-1 $$), se propone multiplicar por $$ x $$. Sea:
   $$
   y_p(x)=Ax e^{-x}.
   $$
   Se calculan las derivadas:
   - Primera derivada:
     $$
     y_p'(x)=A e^{-x}-Ax e^{-x}.
     $$
   - Segunda derivada:
     $$
     y_p''(x)=-A e^{-x} -A e^{-x}+Ax e^{-x} = -2Ae^{-x}+Ax e^{-x}.
     $$
3. Sustituyendo $$ y_p $$, $$ y_p' $$ y $$ y_p'' $$ en la ecuación diferencial:
   $$
   y_p''-y_p = \bigl(-2Ae^{-x}+Ax e^{-x}\bigr)-\bigl(Ax e^{-x}\bigr)=-2Ae^{-x}.
   $$
   Se iguala a $$ 4e^{-x} $$:
   $$
   -2Ae^{-x}=4e^{-x} \quad \Longrightarrow \quad -2A=4 \quad \Longrightarrow \quad A=-2.
   $$
4. La solución particular es:
   $$
   y_p(x)=-2x e^{-x}.
   $$

5. **Solución general de la ecuación completa:**
   $$
   y(x)=y_h(x)+y_p(x)=C_1e^{x}+C_2e^{-x}-2xe^{-x}.
   $$
**b. Ecuación Diferencial: $$ y''-4y'+4y=0 $$** La solución es $$ y = C_1 e^{2x} + C_2 x e^{2x} $$, donde $$ C_1 $$ y $$ C_2 $$ son constantes. --- **c. Ecuación Diferencial: $$ 2y'+y=0 $$** La solución es $$ y = C_1 e^{-x/2} $$, donde $$ C_1 $$ es una constante. --- **d. Ecuación Diferencial: $$ y''-y=4e^{-x} $$** La solución general es $$ y = C_1 e^{x} + C_2 e^{-x} - 2x e^{-x} $$, donde $$ C_1 $$ y $$ C_2 $$ son constantes.

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