con $$ a=5 \mathrm{y} \operatorname{con} b=3 $$, se obtiene: $$ -\frac{a^{-2} b+a h^{-2}}{a^{-1}-h^{-1}} $$

Question

UpStudy AI · Accepted Answer

A continuación, resolveremos paso a paso la expresión

$$
-\frac{a^{-2}b + a\,h^{-2}}{a^{-1} - h^{-1}}
$$

suponiendo que se trató de un error tipográfico y que, en realidad, la expresión correcta es

$$
-\frac{a^{-2}b + a\,b^{-2}}{a^{-1} - b^{-1}},
$$

puesto que en el enunciado se indica que $$ a=5 $$ y $$ b=3 $$.

> Nota: Si la variable $$ h $$ fuese distinta de $$ b $$, habría que disponer de su valor. Suponemos aquí que se quiso escribir $$ b $$ en lugar de $$ h $$.

---

## Paso 1. Escribir los exponentes negativos en forma racional

Recordamos que
$$
a^{-2}=\frac{1}{a^2},\quad b^{-2}=\frac{1}{b^2},\quad a^{-1}=\frac{1}{a},\quad b^{-1}=\frac{1}{b}.
$$

Por lo tanto, la expresión se puede escribir como

$$
-\frac{\frac{b}{a^2} + \frac{a}{b^2}}{\frac{1}{a} - \frac{1}{b}}.
$$

---

## Paso 2. Simplificar el denominador

En el denominador tenemos

$$
\frac{1}{a} - \frac{1}{b} = \frac{b-a}{ab}.
$$

---

## Paso 3. Sumar los términos del numerador

En el numerador se tiene

$$
\frac{b}{a^2}+\frac{a}{b^2}.
$$

Para sumar ambas fracciones, buscamos un denominador común. El denominador común es $$a^2b^2$$:

$$
\frac{b}{a^2} = \frac{b \cdot b^2}{a^2b^2} = \frac{b^3}{a^2b^2},\quad \frac{a}{b^2} = \frac{a \cdot a^2}{a^2b^2} = \frac{a^3}{a^2b^2}.
$$

Por lo tanto,

$$
\frac{b}{a^2}+\frac{a}{b^2} = \frac{b^3+a^3}{a^2b^2}.
$$

Entonces, la expresión se actualiza a

$$
-\frac{\frac{a^3+b^3}{a^2b^2}}{\frac{b-a}{ab}}.
$$

---

## Paso 4. Dividir las fracciones

Dividir entre una fracción equivale a multiplicar por su inversa. Así tenemos

$$
-\frac{a^3+b^3}{a^2b^2} \cdot \frac{ab}{b-a} = -\frac{(a^3+b^3)ab}{a^2b^2(b-a)}.
$$

Simplificando $$ab$$ en el numerador con $$a^2b^2$$ en el denominador, se elimina un factor de $$a$$ y uno de $$b$$:

$$
-\frac{a^3+b^3}{ab(b-a)}.
$$

---

## Paso 5. Factorizar la suma de cubos

Se sabe que

$$
a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2).
$$

Reemplazando en la expresión:

$$
-\frac{(a+b)(a^2-ab+b^2)}{ab(b-a)}.
$$

Observamos ahora que en el denominador tenemos $$b-a$$. Notamos que

$$
b-a = -(a-b).
$$

Por lo tanto,

$$
-\frac{(a+b)(a^2-ab+b^2)}{ab\big[-(a-b)\big]} = \frac{(a+b)(a^2-ab+b^2)}{ab(a-b)}.
$$

Esta es la forma simplificada de la expresión.

---

## Paso 6. Sustituir los valores $$ a=5 $$ y $$ b=3 $$

Calculemos cada parte:

1. $$a+b = 5+3=8.$$
2. $$a-b = 5-3=2.$$
3. $$ab = 5\cdot 3=15.$$
4. $$a^2-ab+b^2 = 5^2-5\cdot 3+3^2=25-15+9=19.$$

Sustituyendo estos valores en la expresión:

$$
\frac{(a+b)(a^2-ab+b^2)}{ab(a-b)} = \frac{8\cdot 19}{15\cdot 2}.
$$

Realizando los cálculos:

$$
8\cdot 19=152,\quad 15\cdot 2=30.
$$

Por lo tanto,

$$
\frac{152}{30} = \frac{76}{15}.
$$

---

## Conclusión

La expresión evaluada con $$ a=5 $$ y $$ b=3 $$ es

$$
\boxed{\frac{76}{15}}.
$$

Este es el resultado final.
El resultado de la expresión es $$ \frac{76}{15} $$.

con , se obtiene:

Upstudy AI Solution

Answer

Solution

Paso 1. Escribir los exponentes negativos en forma racional

Paso 2. Simplificar el denominador

Paso 3. Sumar los términos del numerador

Paso 4. Dividir las fracciones

Paso 5. Factorizar la suma de cubos

Paso 6. Sustituir los valores y

Conclusión

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