con $$ a=5 \mathrm{y} \operatorname{con} b=3 $$, se obtiene: $$ -\frac{a^{-2} b+a h^{-2}}{a^{-1}-h^{-1}} $$

Question

UpStudy AI · Accepted Answer

A continuación, resolveremos paso a paso la expresión

$$
-\frac{a^{-2}b + a\,h^{-2}}{a^{-1} - h^{-1}}
$$

suponiendo que se trató de un error tipográfico y que, en realidad, la expresión correcta es

$$
-\frac{a^{-2}b + a\,b^{-2}}{a^{-1} - b^{-1}},
$$

puesto que en el enunciado se indica que $$ a=5 $$ y $$ b=3 $$.

> Nota: Si la variable $$ h $$ fuese distinta de $$ b $$, habría que disponer de su valor. Suponemos aquí que se quiso escribir $$ b $$ en lugar de $$ h $$.

---

## Paso 1. Escribir los exponentes negativos en forma racional

Recordamos que
$$
a^{-2}=\frac{1}{a^2},\quad b^{-2}=\frac{1}{b^2},\quad a^{-1}=\frac{1}{a},\quad b^{-1}=\frac{1}{b}.
$$

Por lo tanto, la expresión se puede escribir como

$$
-\frac{\frac{b}{a^2} + \frac{a}{b^2}}{\frac{1}{a} - \frac{1}{b}}.
$$

---

## Paso 2. Simplificar el denominador

En el denominador tenemos

$$
\frac{1}{a} - \frac{1}{b} = \frac{b-a}{ab}.
$$

---

## Paso 3. Sumar los términos del numerador

En el numerador se tiene

$$
\frac{b}{a^2}+\frac{a}{b^2}.
$$

Para sumar ambas fracciones, buscamos un denominador común. El denominador común es $$a^2b^2$$:

$$
\frac{b}{a^2} = \frac{b \cdot b^2}{a^2b^2} = \frac{b^3}{a^2b^2},\quad \frac{a}{b^2} = \frac{a \cdot a^2}{a^2b^2} = \frac{a^3}{a^2b^2}.
$$

Por lo tanto,

$$
\frac{b}{a^2}+\frac{a}{b^2} = \frac{b^3+a^3}{a^2b^2}.
$$

Entonces, la expresión se actualiza a

$$
-\frac{\frac{a^3+b^3}{a^2b^2}}{\frac{b-a}{ab}}.
$$

---

## Paso 4. Dividir las fracciones

Dividir entre una fracción equivale a multiplicar por su inversa. Así tenemos

$$
-\frac{a^3+b^3}{a^2b^2} \cdot \frac{ab}{b-a} = -\frac{(a^3+b^3)ab}{a^2b^2(b-a)}.
$$

Simplificando $$ab$$ en el numerador con $$a^2b^2$$ en el denominador, se elimina un factor de $$a$$ y uno de $$b$$:

$$
-\frac{a^3+b^3}{ab(b-a)}.
$$

---

## Paso 5. Factorizar la suma de cubos

Se sabe que

$$
a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2).
$$

Reemplazando en la expresión:

$$
-\frac{(a+b)(a^2-ab+b^2)}{ab(b-a)}.
$$

Observamos ahora que en el denominador tenemos $$b-a$$. Notamos que

$$
b-a = -(a-b).
$$

Por lo tanto,

$$
-\frac{(a+b)(a^2-ab+b^2)}{ab\big[-(a-b)\big]} = \frac{(a+b)(a^2-ab+b^2)}{ab(a-b)}.
$$

Esta es la forma simplificada de la expresión.

---

## Paso 6. Sustituir los valores $$ a=5 $$ y $$ b=3 $$

Calculemos cada parte:

1. $$a+b = 5+3=8.$$
2. $$a-b = 5-3=2.$$
3. $$ab = 5\cdot 3=15.$$
4. $$a^2-ab+b^2 = 5^2-5\cdot 3+3^2=25-15+9=19.$$

Sustituyendo estos valores en la expresión:

$$
\frac{(a+b)(a^2-ab+b^2)}{ab(a-b)} = \frac{8\cdot 19}{15\cdot 2}.
$$

Realizando los cálculos:

$$
8\cdot 19=152,\quad 15\cdot 2=30.
$$

Por lo tanto,

$$
\frac{152}{30} = \frac{76}{15}.
$$

---

## Conclusión

La expresión evaluada con $$ a=5 $$ y $$ b=3 $$ es

$$
\boxed{\frac{76}{15}}.
$$

Este es el resultado final.
El resultado de la expresión es $$ \frac{76}{15} $$.

con , se obtiene:

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