\( y ^ { \prime } + 1 = \frac { ( x + y ) ^ { m } } { ( x + y ) ^ { n } + ( x + y ) ^ { \prime } } \)

Dada la ecuación   y′ + 1 = (x + y)^m / [(x + y)^n + (x + y)′], podemos hacer algunas observaciones y transformaciones útiles. 1. Notación de la derivada de (x + y):  Reconozcamos que (x + y)′ representa la derivada de (x + y) respecto a x. Como x′ = 1 y y′ es la derivada de y, se tiene:   (x + y)′ = 1 + y′. 2. Sustitución para simplificar la ecuación:  Es conveniente introducir la variable u definida por   u = x + y.  Entonces, derivando respecto a x, se tiene:   u′ = d/dx (x + y) = 1 + y′.  Observa que en la parte izquierda de la ecuación original aparece y′ + 1, que es precisamente u′. 3. Reescribiendo la ecuación con la variable u:  Sustituyendo y′ + 1 = u′ y (x + y) = u, la ecuación se transforma en:   u′ = u^m / [u^n + u′]. 4. Organizando la ecuación:  Multiplicamos ambos lados del igual por el denominador para aislar u′:   u′(u^n + u′) = u^m.  Esto se puede escribir como:   u′² + u^n·u′ − u^m = 0.  Hemos obtenido una ecuación cuadrática en u′. 5. Resolviendo la ecuación cuadrática en u′:  La forma general de una ecuación cuadrática es:   A·(u′)² + B·u′ + C = 0,  donde en nuestro caso:   A = 1,   B = u^n,   C = −u^m.  Aplicando la fórmula general, encontramos:   u′ = [−u^n ± √(u^(2n) + 4·u^m)] / 2. Esta forma de la solución expresa la derivada de u en función de u. Dependiendo del contexto y de condiciones iniciales, se podría intentar integrar para obtener u como función de x y, posteriormente, recuperar la solución en términos de y. En resumen, hemos pasado de la ecuación original a una forma en la que, mediante la sustitución u = x + y, se reduce a una ecuación cuadrática en la derivada u′. Este procedimiento es común cuando la variable aparecen combinadas de manera lineal (como x + y), y simplifica el análisis y la posible integración de la ecuación diferencial.