c) Bisectrices de los ángulos formados por las rectas: \[ r_{1}: 2 x+y-3=0 \] \( \quad r_{2}: x-2 y+16=0 \) Comprueba que las bisectrices son dos rectas perpen- diculares que se cortan en el mismo punto en que se cortan las rectas \( r_{1} \) y \( r_{2} \).

Para resolver el problema, seguiremos los siguientes pasos: 1. **Encontrar el punto de intersección de las rectas \( r_{1} \) y \( r_{2} \)**. 2. **Determinar las pendientes de las rectas \( r_{1} \) y \( r_{2} \)**. 3. **Calcular las pendientes de las bisectrices de los ángulos formados por las rectas**. 4. **Comprobar que las bisectrices son perpendiculares y se cortan en el mismo punto que las rectas originales**. ### Paso 1: Encontrar el punto de intersección de las rectas \( r_{1} \) y \( r_{2} \) Las ecuaciones de las rectas son: \[ r_{1}: 2x + y - 3 = 0 \] \[ r_{2}: x - 2y + 16 = 0 \] Vamos a resolver este sistema de ecuaciones para encontrar el punto de intersección. ### Paso 2: Determinar las pendientes de las rectas \( r_{1} \) y \( r_{2} \) Para encontrar las pendientes, reescribimos las ecuaciones en la forma \( y = mx + b \): 1. Para \( r_{1} \): \[ y = -2x + 3 \] La pendiente \( m_{1} = -2 \). 2. Para \( r_{2} \): \[ 2y = x + 16 \implies y = \frac{1}{2}x + 8 \] La pendiente \( m_{2} = \frac{1}{2} \). ### Paso 3: Calcular las pendientes de las bisectrices Las pendientes de las bisectrices de los ángulos formados por dos rectas con pendientes \( m_{1} \) y \( m_{2} \) se pueden calcular con las siguientes fórmulas: \[ m_{b1} = \frac{m_{1} + m_{2}}{1 - m_{1}m_{2}} \] \[ m_{b2} = \frac{m_{1} - m_{2}}{1 + m_{1}m_{2}} \] Sustituyendo \( m_{1} = -2 \) y \( m_{2} = \frac{1}{2} \): 1. Para \( m_{b1} \): \[ m_{b1} = \frac{-2 + \frac{1}{2}}{1 - (-2) \cdot \frac{1}{2}} = \frac{-\frac{4}{2} + \frac{1}{2}}{1 + 1} = \frac{-\frac{3}{2}}{2} = -\frac{3}{4} \] 2. Para \( m_{b2} \): \[ m_{b2} = \frac{-2 - \frac{1}{2}}{1 + (-2) \cdot \frac{1}{2}} = \frac{-\frac{4}{2} - \frac{1}{2}}{1 - 1} = \frac{-\frac{5}{2}}{0} \] Esto indica que la segunda bisectriz es vertical, lo que significa que su pendiente es indefinida. ### Paso 4: Comprobar que las bisectrices son perpendiculares La bisectriz \( m_{b1} = -\frac{3}{4} \) y la bisectriz vertical son perpendiculares, ya que la pendiente de una recta vertical es indefinida y la pendiente de \( m_{b1} \) es finita. ### Paso 5: Encontrar el punto de intersección de las rectas \( r_{1} \) y \( r_{2} \) Ahora, resolvamos el sistema de ecuaciones para encontrar el punto de intersección: \[ \begin{cases} 2x + y - 3 = 0 \\ x - 2y + 16 = 0 \end{cases} \] Utilizaremos el método de eliminación o sustitución. Primero, despejamos \( y \) de la primera ecuación: \[ y = 3 - 2x \] Sustituyendo en la segunda ecuación: \[ x - 2(3 - 2x) + 16 = 0 \] \[ x - 6 + 4x + 16 = 0 \] \[ 5x + 10 = 0 \implies 5x = -10 \implies x = -2 \] Sustituyendo \( x = -2 \) en \( y = 3 - 2(-2) \): \[ y = 3 + 4 = 7 \] Por lo tanto, el punto de intersección de las rectas \( r_{1} \) y \( r_{2} \) es \( (-2, 7) \). ### Conclusión Las bisectrices de los ángulos formados por las rectas \( r_{1} \) y \( r_{2} \) son perpendiculares y se cortan en el mismo punto \( (-2, 7) \) donde se cortan las rectas originales.