Question
Dada la función: \( f: f(x)=\frac{x}{\sqrt[5]{x-1}} \); su dominio es O. \( \operatorname{dom} f=(-\infty, 0) \cup(0, \infty) \) O. \( \operatorname{dom} f=\emptyset \) O. \( \operatorname{dom} f=(0, \infty) \) Od \( \operatorname{dom} f=\mathbb{R}-\{0\} \) O. \( \operatorname{dom} f=\mathbb{R}-\{1\} \)
Ask by Coleman Reyes. in Argentina
Mar 08,2025
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Answer
El dominio de la función \( f(x)=\frac{x}{\sqrt[5]{x-1}} \) es \( \mathbb{R}-\{1\} \).
Solution
1. Se tiene la función
\[
f(x)=\frac{x}{\sqrt[5]{x-1}}
\]
2. El radical en el denominador es una raíz quinta (\( \sqrt[5]{\cdot} \)), la cual está definida para cualquier número real, ya que las raíces impares permiten radicandos negativos, cero o positivos.
3. Sin embargo, se debe evitar que el denominador sea cero, ya que la división por cero no está definida.
4. Por lo tanto, se debe encontrar para qué valor de \( x \) se cumple que
\[
\sqrt[5]{x-1} = 0.
\]
5. Puesto que \(\sqrt[5]{x-1}=0\) si y solo si
\[
x-1 = 0,
\]
tenemos
\[
x =1.
\]
6. Concluimos que la función está definida para todos los valores reales excepto \( x=1 \).
7. Por lo tanto, el dominio de la función es
\[
\operatorname{dom} f=\mathbb{R}-\{1\}.
\]
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Para determinar el dominio de la función \( f(x) = \frac{x}{\sqrt[5]{x-1}} \), necesitamos asegurarnos de que el denominador no se anule. La raíz quintuple, \( \sqrt[5]{x-1} \), está definida para todos los valores de \( x \). Sin embargo, para que la función esté bien definida, debemos evitar que el denominador sea igual a cero. Esto ocurre cuando \( x-1=0 \) o \( x=1 \). Por lo tanto, el dominio es \( \mathbb{R} - \{1\} \). La opción correcta es: \( \operatorname{dom} f=\mathbb{R}-\{1\} \).
