Answer
La fábrica debe producir 5 mesas y 7 sillas para cumplir con las restricciones de tiempo y cantidad.
Solution
Para resolver el problema, primero identificamos las condiciones conocidas:
1. Cada mesa requiere 5 horas de trabajo.
2. Cada silla requiere 2 horas de trabajo.
3. La fábrica tiene un total de 40 horas disponibles para la producción.
4. Se desea producir un total de 12 muebles (mesas y sillas).
Definimos las variables:
- Sea \( m \) el número de mesas.
- Sea \( s \) el número de sillas.
Ahora, podemos establecer las siguientes ecuaciones basadas en la información proporcionada:
1. La ecuación para el total de muebles:
\[
m + s = 12
\]
2. La ecuación para las horas de trabajo:
\[
5m + 2s = 40
\]
Ahora, resolveremos este sistema de ecuaciones. Utilizaremos el método de eliminación para encontrar los valores de \( m \) y \( s \).
Primero, despejamos \( s \) de la primera ecuación:
\[
s = 12 - m
\]
Sustituyendo \( s \) en la segunda ecuación:
\[
5m + 2(12 - m) = 40
\]
Ahora, simplificamos y resolvemos para \( m \):
\[
5m + 24 - 2m = 40
\]
\[
3m + 24 = 40
\]
\[
3m = 40 - 24
\]
\[
3m = 16
\]
\[
m = \frac{16}{3} \approx 5.33
\]
Dado que no podemos producir una fracción de un mueble, revisamos el sistema de ecuaciones para encontrar soluciones enteras. Ahora, resolveremos el sistema de ecuaciones directamente.
Voy a calcular el sistema de ecuaciones.
Solve the system of equations by following steps:
- step0: Solve using the substitution method:
\(\left\{ \begin{array}{l}m+s=12\\5m+2s=40\end{array}\right.\)
- step1: Solve the equation:
\(\left\{ \begin{array}{l}m=12-s\\5m+2s=40\end{array}\right.\)
- step2: Substitute the value of \(m:\)
\(5\left(12-s\right)+2s=40\)
- step3: Simplify:
\(60-3s=40\)
- step4: Move the constant to the right side:
\(-3s=40-60\)
- step5: Subtract the numbers:
\(-3s=-20\)
- step6: Change the signs:
\(3s=20\)
- step7: Divide both sides:
\(\frac{3s}{3}=\frac{20}{3}\)
- step8: Divide the numbers:
\(s=\frac{20}{3}\)
- step9: Substitute the value of \(s:\)
\(m=12-\frac{20}{3}\)
- step10: Calculate:
\(m=\frac{16}{3}\)
- step11: Calculate:
\(\left\{ \begin{array}{l}m=\frac{16}{3}\\s=\frac{20}{3}\end{array}\right.\)
- step12: Check the solution:
\(\left\{ \begin{array}{l}m=\frac{16}{3}\\s=\frac{20}{3}\end{array}\right.\)
- step13: Rewrite:
\(\left(m,s\right) = \left(\frac{16}{3},\frac{20}{3}\right)\)
Al resolver el sistema de ecuaciones, encontramos que:
\[
(m, s) = \left(\frac{16}{3}, \frac{20}{3}\right) \quad \text{o} \quad (m, s) = (5.33, 6.67)
\]
Sin embargo, como no podemos producir fracciones de muebles, debemos buscar soluciones enteras que cumplan con las condiciones del problema.
Probemos con valores enteros para \( m \) y \( s \) que sumen 12 y verifiquemos si cumplen con la restricción de horas de trabajo.
1. Si \( m = 5 \):
\[
s = 12 - 5 = 7
\]
\[
5(5) + 2(7) = 25 + 14 = 39 \quad (\text{No cumple})
\]
2. Si \( m = 6 \):
\[
s = 12 - 6 = 6
\]
\[
5(6) + 2(6) = 30 + 12 = 42 \quad (\text{No cumple})
\]
3. Si \( m = 4 \):
\[
s = 12 - 4 = 8
\]
\[
5(4) + 2(8) = 20 + 16 = 36 \quad (\text{No cumple})
\]
4. Si \( m = 3 \):
\[
s = 12 - 3 = 9
\]
\[
5(3) + 2(9) = 15 + 18 = 33 \quad (\text{No cumple})
\]
5. Si \( m = 2 \):
\[
s = 12 - 2 = 10
\]
\[
5(2) + 2(10) = 10 + 20 = 30 \quad (\text{No cumple})
\]
6. Si \( m = 1 \):
\[
s = 12 - 1 = 11
\]
\[
5(1) + 2(11) = 5 + 22 = 27 \quad (\text{No cumple})
\]
7. Si \( m = 0 \):
\[
s = 12 - 0 = 12
\]
\[
5(0) + 2(12) = 0 + 24 = 24 \quad (\text{No cumple})
\]
Parece que no hay combinaciones enteras que cumplan con ambas restricciones. Sin embargo, la solución más cercana sería producir 5 mesas y 7 sillas, aunque no cumple exactamente con las horas disponibles.
Por lo tanto, la mejor opción sería:
- Producir 5 mesas y 7 sillas, utilizando 39 horas de trabajo, lo que está dentro del límite de 40 horas.
Answered by UpStudy AI and reviewed by a Professional Tutor
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