Contenido 10: Comprobemos lo aprendido 3 1. Dada una sucesión aritmética con a) \( a_{1}=5 \) y \( a_{8}=40 \), determine \( S_{8} \) b) \( a_{1}=3 \) y \( a_{12}=25 \), determine \( S_{12} \) c) \( a_{1}=9 \) y \( a_{9}=-39 \), determine \( S_{9} \) d) \( a_{1}=-13 \) y \( a_{11}=-47 \), determine \( S_{11} \) 2. Dada una sucesión aritmética con a) \( a_{1}=4 \) y \( d=6 \), determine \( S_{7} \) b) \( a_{1}=3 \) y \( d=10 \), determine \( S_{5} \) c) \( a_{1}=-15 \) y \( d=3 \), determine \( S_{10} \) d) \( a_{1}=-7 \) y \( d=-4 \), determine \( S_{6} \) 3. Calcule el término para cada sucesión aritmética con: a) \( a_{1}=2 \) y \( S_{5}=50 \), determine \( a_{5} \) b) \( a_{1}=7 \) y \( S_{9}=180 \), determine \( a_{9} \) c) \( a_{1}=-5 \) y \( S_{6}=270 \), determine \( a_{6} \) d) \( a_{1}=-3 \) y \( S_{10}=-185 \), determine \( a_{10} \) 4. Dadas las siguientes sucesiones, calcule la suma de sus términos: a) \( 1,4,7, \ldots, 19 \) b) \( 2,10,18, \ldots, 58 \) b) \( 10,7,4, \ldots,-23 \) d) \( 10,5,0, \ldots,-30 \) 5. Resuelva el siguiente problema. Un albañil coloca ladrillos en el piso de tal forma que la base tiene 26 ladrillos, la segunda capa 24, la tercera 22 y así sucesivamente, hasta que la capa superior tenga 12. a) ¿Cuántas filas se forman? b) ¿Cuántos ladrillos en total coloca el albañil? ( 10

Vamos a resolver cada uno de los problemas planteados paso a paso. ### 1. Sucesiones aritméticas La fórmula para la suma de los primeros \( n \) términos de una sucesión aritmética es: \[ S_n = \frac{n}{2} (a_1 + a_n) \] Donde: - \( S_n \) es la suma de los primeros \( n \) términos. - \( a_1 \) es el primer término. - \( a_n \) es el enésimo término. #### a) \( a_{1}=5 \) y \( a_{8}=40 \) Calculamos \( S_8 \): \[ S_8 = \frac{8}{2} (5 + 40) = 4 \times 45 = 180 \] #### b) \( a_{1}=3 \) y \( a_{12}=25 \) Calculamos \( S_{12} \): \[ S_{12} = \frac{12}{2} (3 + 25) = 6 \times 28 = 168 \] #### c) \( a_{1}=9 \) y \( a_{9}=-39 \) Calculamos \( S_9 \): \[ S_9 = \frac{9}{2} (9 + (-39)) = \frac{9}{2} \times (-30) = 9 \times (-15) = -135 \] #### d) \( a_{1}=-13 \) y \( a_{11}=-47 \) Calculamos \( S_{11} \): \[ S_{11} = \frac{11}{2} (-13 + (-47)) = \frac{11}{2} \times (-60) = 11 \times (-30) = -330 \] ### 2. Sucesiones aritméticas con diferencia La fórmula del término general de una sucesión aritmética es: \[ a_n = a_1 + (n-1)d \] Y la suma se calcula de la misma manera. #### a) \( a_{1}=4 \) y \( d=6 \) Calculamos \( S_7 \): \[ a_7 = 4 + (7-1) \cdot 6 = 4 + 36 = 40 \] \[ S_7 = \frac{7}{2} (4 + 40) = \frac{7}{2} \times 44 = 7 \times 22 = 154 \] #### b) \( a_{1}=3 \) y \( d=10 \) Calculamos \( S_5 \): \[ a_5 = 3 + (5-1) \cdot 10 = 3 + 40 = 43 \] \[ S_5 = \frac{5}{2} (3 + 43) = \frac{5}{2} \times 46 = 5 \times 23 = 115 \] #### c) \( a_{1}=-15 \) y \( d=3 \) Calculamos \( S_{10} \): \[ a_{10} = -15 + (10-1) \cdot 3 = -15 + 27 = 12 \] \[ S_{10} = \frac{10}{2} (-15 + 12) = 5 \times (-3) = -15 \] #### d) \( a_{1}=-7 \) y \( d=-4 \) Calculamos \( S_6 \): \[ a_6 = -7 + (6-1) \cdot (-4) = -7 - 20 = -27 \] \[ S_6 = \frac{6}{2} (-7 + (-27)) = 3 \times (-34) = -102 \] ### 3. Cálculo de términos a partir de la suma Usamos la relación \( S_n = \frac{n}{2} (a_1 + a_n) \) para encontrar \( a_n \). #### a) \( a_{1}=2 \) y \( S_{5}=50 \) \[ 50 = \frac{5}{2} (2 + a_5) \implies 50 = \frac{5}{2} (2 + a_5) \implies 100 = 5(2 + a_5) \implies 20 = 2 + a_5 \implies a_5 = 18 \] #### b) \( a_{1}=7 \) y \( S_{9}=180 \) \[ 180 = \frac{9}{2} (7 + a_9) \implies 180 = \frac{9}{2} (7 + a_9) \implies 360 = 9(7 + a_9) \implies 40 = 7 + a_9 \implies a_9 = 33 \] #### c) \( a_{1}=-5 \) y \( S_{6}=270 \) \[ 270 = \frac{6}{2} (-5 + a_6) \implies 270 = 3(-5 + a_6) \implies 90 = -5 + a_6 \implies a_6 = 95 \] #### d) \( a_{1}=-3 \) y \( S_{10}=-185 \) \[ -185 = \frac{10}{2} (-3 + a_{10}) \implies -185 = 5(-3 + a_{10}) \implies -37 = -3 + a_{10} \implies a_{10} = -34 \] ### 4. Suma de términos de sucesiones Para cada sucesión, identificamos \( a_1 \), \( d \) y \( n \). #### a) \( 1, 4, 7, \ldots, 19 \) Identificamos \( a_1 = 1 \), \( d = 3 \), y \( n = 7 \) (porque \( 19 = 1 + (n-1)3 \)). \[ S_7 = \frac{7}{2} (1 + 19) = \frac{7}{2} \times 20 = 7 \times 10 = 70 \] #### b) \( 2, 10, 18, \ldots, 58 \) Identificamos \( a_1 = 2 \), \( d = 8 \), y \( n = 8 \). \[ S_8 = \frac{8}{2} (2 + 58) = 4 \times 60 = 240 \] #### c) \( 10, 7, 4, \ldots, -23 \) Identificamos \( a_1 = 10 \), \( d = -3 \), y \(