Contenido 10: Comprobemos lo aprendido 3 1. Dada una sucesión aritmética con a) $$ a_{1}=5 $$ y $$ a_{8}=40 $$, determine $$ S_{8} $$ b) $$ a_{1}=3 $$ y $$ a_{12}=25 $$, determine $$ S_{12} $$ c) $$ a_{1}=9 $$ y $$ a_{9}=-39 $$, determine $$ S_{9} $$ d) $$ a_{1}=-13 $$ y $$ a_{11}=-47 $$, determine $$ S_{11} $$ 2. Dada una sucesión aritmética con a) $$ a_{1}=4 $$ y $$ d=6 $$, determine $$ S_{7} $$ b) $$ a_{1}=3 $$ y $$ d=10 $$, determine $$ S_{5} $$ c) $$ a_{1}=-15 $$ y $$ d=3 $$, determine $$ S_{10} $$ d) $$ a_{1}=-7 $$ y $$ d=-4 $$, determine $$ S_{6} $$ 3. Calcule el término para cada sucesión aritmética con: a) $$ a_{1}=2 $$ y $$ S_{5}=50 $$, determine $$ a_{5} $$ b) $$ a_{1}=7 $$ y $$ S_{9}=180 $$, determine $$ a_{9} $$ c) $$ a_{1}=-5 $$ y $$ S_{6}=270 $$, determine $$ a_{6} $$ d) $$ a_{1}=-3 $$ y $$ S_{10}=-185 $$, determine $$ a_{10} $$ 4. Dadas las siguientes sucesiones, calcule la suma de sus términos: a) $$ 1,4,7, \ldots, 19 $$ b) $$ 2,10,18, \ldots, 58 $$ b) $$ 10,7,4, \ldots,-23 $$ d) $$ 10,5,0, \ldots,-30 $$ 5. Resuelva el siguiente problema. Un albañil coloca ladrillos en el piso de tal forma que la base tiene 26 ladrillos, la segunda capa 24, la tercera 22 y así sucesivamente, hasta que la capa superior tenga 12. a) ¿Cuántas filas se forman? b) ¿Cuántos ladrillos en total coloca el albañil? ( 10

Question

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Vamos a resolver cada uno de los problemas planteados paso a paso.

### 1. Sucesiones aritméticas

La fórmula para la suma de los primeros $$ n $$ términos de una sucesión aritmética es:

$$
S_n = \frac{n}{2} (a_1 + a_n)
$$

Donde:
- $$ S_n $$ es la suma de los primeros $$ n $$ términos.
- $$ a_1 $$ es el primer término.
- $$ a_n $$ es el enésimo término.

#### a) $$ a_{1}=5 $$ y $$ a_{8}=40 $$

Calculamos $$ S_8 $$:

$$
S_8 = \frac{8}{2} (5 + 40) = 4 \times 45 = 180
$$

#### b) $$ a_{1}=3 $$ y $$ a_{12}=25 $$

Calculamos $$ S_{12} $$:

$$
S_{12} = \frac{12}{2} (3 + 25) = 6 \times 28 = 168
$$

#### c) $$ a_{1}=9 $$ y $$ a_{9}=-39 $$

Calculamos $$ S_9 $$:

$$
S_9 = \frac{9}{2} (9 + (-39)) = \frac{9}{2} \times (-30) = 9 \times (-15) = -135
$$

#### d) $$ a_{1}=-13 $$ y $$ a_{11}=-47 $$

Calculamos $$ S_{11} $$:

$$
S_{11} = \frac{11}{2} (-13 + (-47)) = \frac{11}{2} \times (-60) = 11 \times (-30) = -330
$$

### 2. Sucesiones aritméticas con diferencia

La fórmula del término general de una sucesión aritmética es:

$$
a_n = a_1 + (n-1)d
$$

Y la suma se calcula de la misma manera.

#### a) $$ a_{1}=4 $$ y $$ d=6 $$

Calculamos $$ S_7 $$:

$$
a_7 = 4 + (7-1) \cdot 6 = 4 + 36 = 40
$$
$$
S_7 = \frac{7}{2} (4 + 40) = \frac{7}{2} \times 44 = 7 \times 22 = 154
$$

#### b) $$ a_{1}=3 $$ y $$ d=10 $$

Calculamos $$ S_5 $$:

$$
a_5 = 3 + (5-1) \cdot 10 = 3 + 40 = 43
$$
$$
S_5 = \frac{5}{2} (3 + 43) = \frac{5}{2} \times 46 = 5 \times 23 = 115
$$

#### c) $$ a_{1}=-15 $$ y $$ d=3 $$

Calculamos $$ S_{10} $$:

$$
a_{10} = -15 + (10-1) \cdot 3 = -15 + 27 = 12
$$
$$
S_{10} = \frac{10}{2} (-15 + 12) = 5 \times (-3) = -15
$$

#### d) $$ a_{1}=-7 $$ y $$ d=-4 $$

Calculamos $$ S_6 $$:

$$
a_6 = -7 + (6-1) \cdot (-4) = -7 - 20 = -27
$$
$$
S_6 = \frac{6}{2} (-7 + (-27)) = 3 \times (-34) = -102
$$

### 3. Cálculo de términos a partir de la suma

Usamos la relación $$ S_n = \frac{n}{2} (a_1 + a_n) $$ para encontrar $$ a_n $$.

#### a) $$ a_{1}=2 $$ y $$ S_{5}=50 $$

$$
50 = \frac{5}{2} (2 + a_5) \implies 50 = \frac{5}{2} (2 + a_5) \implies 100 = 5(2 + a_5) \implies 20 = 2 + a_5 \implies a_5 = 18
$$

#### b) $$ a_{1}=7 $$ y $$ S_{9}=180 $$

$$
180 = \frac{9}{2} (7 + a_9) \implies 180 = \frac{9}{2} (7 + a_9) \implies 360 = 9(7 + a_9) \implies 40 = 7 + a_9 \implies a_9 = 33
$$

#### c) $$ a_{1}=-5 $$ y $$ S_{6}=270 $$

$$
270 = \frac{6}{2} (-5 + a_6) \implies 270 = 3(-5 + a_6) \implies 90 = -5 + a_6 \implies a_6 = 95
$$

#### d) $$ a_{1}=-3 $$ y $$ S_{10}=-185 $$

$$
-185 = \frac{10}{2} (-3 + a_{10}) \implies -185 = 5(-3 + a_{10}) \implies -37 = -3 + a_{10} \implies a_{10} = -34
$$

### 4. Suma de términos de sucesiones

Para cada sucesión, identificamos $$ a_1 $$, $$ d $$ y $$ n $$.

#### a) $$ 1, 4, 7, \ldots, 19 $$

Identificamos $$ a_1 = 1 $$, $$ d = 3 $$, y $$ n = 7 $$ (porque $$ 19 = 1 + (n-1)3 $$).

$$
S_7 = \frac{7}{2} (1 + 19) = \frac{7}{2} \times 20 = 7 \times 10 = 70
$$

#### b) $$ 2, 10, 18, \ldots, 58 $$

Identificamos $$ a_1 = 2 $$, $$ d = 8 $$, y $$ n = 8 $$.

$$
S_8 = \frac{8}{2} (2 + 58) = 4 \times 60 = 240
$$

#### c) $$ 10, 7, 4, \ldots, -23 $$

Identificamos $$ a_1 = 10 $$, $$ d = -3 $$, y $$
1. **Sucesiones Aritméticas:** - **a)** $$ S_8 = 180 $$ - **b)** $$ S_{12} = 168 $$ - **c)** $$ S_9 = -135 $$ - **d)** $$ S_{11} = -330 $$ 2. **Sucesiones Aritméticas con Diferencia:** - **a)** $$ S_7 = 154 $$ - **b)** $$ S_5 = 115 $$ - **c)** $$ S_{10} = -15 $$ - **d)** $$ S_6 = -102 $$ 3. **Cálculo de Términos:** - **a)** $$ a_5 = 18 $$ - **b)** $$ a_9 = 33 $$ - **c)** $$ a_6 = 95 $$ - **d)** $$ a_{10} = -34 $$ 4. **Suma de Términos:** - **a)** $$ 70 $$ - **b)** $$ 240 $$ - **c)** $$ 10, 7, 4, 1, -2, -5, -8, -11, -14, -17, -20, -23 $$ (Suma: $$ -110 $$) - **d)** $$ 10, 5, 0, -5, -10, -15, -20, -25, -30 $$ (Suma: $$ -105 $$) 5. **Problema del Albañil:** - **a)** Se forman $$ 13 $$ filas. - **b)** En total, el albañil coloca $$ 182 $$ ladrillos. **Resumen:** - Se resolvieron problemas sobre sucesiones aritméticas, incluyendo cálculo de sumas y términos. - Se aplicaron fórmulas para sucesiones aritméticas y se realizaron cálculos paso a paso. - Se proporcionaron respuestas claras y concisas para cada parte del problema.

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