Answer
**Resolución de Composiciones de Funciones**
1. **a)**
- **\( f \circ g \):** \( f(g(x)) = x \)
- **\( g \circ f \):** \( g(f(x)) = |x| \)
- **Dominio \( f \circ g \):** \( x \geq 0 \)
- **Dominio \( g \circ f \):** Todos los números reales
- **Igualdad:** No son iguales.
2. **b)**
- **\( f \circ g \):** \( \frac{3}{x^{2}-1} \)
- **\( g \circ f \):** \( \frac{9}{x^{2}} - 1 \)
- **Dominio \( f \circ g \):** \( x \neq \pm 1 \)
- **Dominio \( g \circ f \):** \( x \neq 0 \)
- **Igualdad:** No son iguales.
3. **c)**
- **\( f \circ g \):** \( (\cos x)^{2} - 1 \)
- **\( g \circ f \):** \( \cos(x^{2}-1) \)
- **Dominio \( f \circ g \):** Todos los números reales
- **Dominio \( g \circ f \):** Todos los números reales
- **Igualdad:** No son iguales.
4. **d)**
- **\( f \circ g \):** \( \frac{1}{\sqrt{x+2}} \)
- **\( g \circ f \):** \( \frac{\sqrt{1+2x}}{\sqrt{x}} \)
- **Dominio \( f \circ g \):** \( x > -2 \) y \( x \neq -2 \)
- **Dominio \( g \circ f \):** \( x > 0 \)
- **Igualdad:** No son iguales.
**Conclusión:** En todos los casos, las funciones compuestas \( f \circ g \) y \( g \circ f \) son diferentes tanto en su expresión como en su dominio.
Solution
Para resolver el problema de composición de funciones, vamos a seguir los siguientes pasos:
1. **Encontrar las funciones compuestas \( f \circ g \) y \( g \circ f \)**.
2. **Determinar el dominio de cada función compuesta**.
3. **Verificar si ambas funciones compuestas son iguales**.
### a)
\[
\begin{array}{l}
f(x)=x^{2} \\
g(x)=\sqrt{x}
\end{array}
\]
**Composición \( f \circ g \)**:
\[
f(g(x)) = f(\sqrt{x}) = (\sqrt{x})^{2} = x
\]
**Composición \( g \circ f \)**:
\[
g(f(x)) = g(x^{2}) = \sqrt{x^{2}} = |x|
\]
**Dominio de \( f \circ g \)**:
El dominio de \( g(x) = \sqrt{x} \) es \( x \geq 0 \). Como \( f(g(x)) = x \) es válido para \( x \geq 0 \), el dominio de \( f \circ g \) es \( [0, \infty) \).
**Dominio de \( g \circ f \)**:
El dominio de \( f(x) = x^{2} \) es \( (-\infty, \infty) \), pero \( g(x^{2}) = \sqrt{x^{2}} \) también es válido para todos los \( x \). Por lo tanto, el dominio de \( g \circ f \) es \( (-\infty, \infty) \).
**Comparación**:
\( f \circ g = x \) y \( g \circ f = |x| \) no son iguales.
---
### b)
\[
\begin{array}{l}
f(x)=\frac{3}{x} \\
g(x)=x^{2}-1
\end{array}
\]
**Composición \( f \circ g \)**:
\[
f(g(x)) = f(x^{2}-1) = \frac{3}{x^{2}-1}
\]
**Composición \( g \circ f \)**:
\[
g(f(x)) = g\left(\frac{3}{x}\right) = \left(\frac{3}{x}\right)^{2} - 1 = \frac{9}{x^{2}} - 1
\]
**Dominio de \( f \circ g \)**:
El dominio de \( g(x) = x^{2}-1 \) es \( (-\infty, \infty) \). Sin embargo, \( f(g(x)) \) no está definido cuando \( g(x) = 0 \), es decir, \( x^{2}-1 = 0 \) o \( x = \pm 1 \). Por lo tanto, el dominio de \( f \circ g \) es \( (-\infty, -1) \cup (-1, 1) \cup (1, \infty) \).
**Dominio de \( g \circ f \)**:
El dominio de \( f(x) = \frac{3}{x} \) es \( x \neq 0 \). Entonces, el dominio de \( g(f(x)) \) es \( x \neq 0 \), que es \( (-\infty, 0) \cup (0, \infty) \).
**Comparación**:
\( f \circ g = \frac{3}{x^{2}-1} \) y \( g \circ f = \frac{9}{x^{2}} - 1 \) no son iguales.
---
### c)
\[
\begin{array}{l}
f(x)=x^{2}-1 \\
g(x)=\cos x
\end{array}
\]
**Composición \( f \circ g \)**:
\[
f(g(x)) = f(\cos x) = (\cos x)^{2} - 1
\]
**Composición \( g \circ f \)**:
\[
g(f(x)) = g(x^{2}-1) = \cos(x^{2}-1)
\]
**Dominio de \( f \circ g \)**:
El dominio de \( g(x) = \cos x \) es \( (-\infty, \infty) \), y como \( f(g(x)) \) está definido para todos los valores de \( g(x) \), el dominio de \( f \circ g \) es \( (-\infty, \infty) \).
**Dominio de \( g \circ f \)**:
El dominio de \( f(x) = x^{2}-1 \) es \( (-\infty, \infty) \), por lo que el dominio de \( g(f(x)) \) también es \( (-\infty, \infty) \).
**Comparación**:
\( f \circ g = (\cos x)^{2} - 1 \) y \( g \circ f = \cos(x^{2}-1) \) no son iguales.
---
### d)
\[
\begin{array}{l}
f(x)=\frac{1}{x} \\
g(x)=\sqrt{x+2}
\end{array}
\]
**Composición \( f \circ g \)**:
\[
f(g(x)) = f(\sqrt{x+2}) = \frac{1}{\sqrt{x+2}}
\]
**Composición \( g \circ f \)**:
\[
g(f(x)) = g\left(\frac{1}{x}\right) = \sqrt{\frac{1}{x}+2} = \sqrt{\frac{1+2x}{x}} = \frac{\sqrt{1+2x}}{\sqrt{x}}
\]
**Dominio de \( f \circ g \)**:
El dominio de \( g(x) = \sqrt{x+2} \) es \( x + 2 \geq 0 \) o \( x \geq -2 \). Sin embargo, \( f(g(x)) \) está definido para \( g(x) \neq 0 \), lo que implica que \( \sqrt{x+2} \neq 0 \) o \( x \neq -2 \). Por lo tanto, el dominio de \( f \circ g \) es \( [-2, \infty) \) excluyendo \( -2 \), es decir, \( (-2, \infty) \).
**Dominio de \( g \circ f \)**:
El dominio de \( f(x) = \frac{1}{x} \) es \( x \neq 0 \). Entonces, el dominio de \( g(f(x)) \) es \( x > 0 \) (ya que \( \frac{1}{x} > 0 \) implica \( x > 0 \)).
**Comparación**:
\( f \circ g = \frac{1}{\sqrt{x+2}} \) y \( g \circ f
Answered by UpStudy AI and reviewed by a Professional Tutor
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