Se ha determinado que $$ 45 \% $$ de los estudiantes de una universidad grande fuman cigarrillos. Se toma una muestra aleatoria de 938 estudiantes. Calcule la probabilidad de que la proporción de la muestra d la gente que fuma cigarrillos sea menor que 0.53 . Nota: Exprese su respuesta de forma numérica, no agregue separadores de miles, los decimales se expresan con punto "." tenga presente en sus cálculos hasta 4 decimales.

Question

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Consideramos que la proporción muestral, $$\hat{p}$$, se distribuye aproximadamente de forma normal con media $$p=0.45$$ y varianza $$\frac{p(1-p)}{n}$$. Es decir,

$$
\hat{p} \sim N\left(0.45, \frac{0.45 \cdot 0.55}{938}\right).
$$

**Paso 1. Calcular la desviación estándar de $$\hat{p}$$:**

Calculemos la varianza:

$$
\sigma_{\hat{p}}^2 = \frac{0.45 \cdot 0.55}{938} = \frac{0.2475}{938} \approx 0.0002638.
$$

Luego, la desviación estándar es:

$$
\sigma_{\hat{p}} = \sqrt{0.0002638} \approx 0.0162.
$$

**Paso 2. Estandarizar la proporción muestral para hallar el valor $$Z$$:**

Queremos calcular la probabilidad de que $$\hat{p} < 0.53$$. El valor $$Z$$ se determina con:

$$
Z = \frac{\hat{p} - p}{\sigma_{\hat{p}}} = \frac{0.53 - 0.45}{0.0162} \approx \frac{0.08}{0.0162} \approx 4.9383.
$$

**Paso 3. Calcular la probabilidad usando la tabla de la normal estándar:**

La probabilidad buscada es:

$$
P(\hat{p} < 0.53) = P\left(Z < 4.9383\right).
$$

Para valores de $$Z$$ tan altos, la función de distribución acumulada de la normal es prácticamente 1. Por lo tanto,

$$
P(\hat{p} < 0.53) \approx 1.0000.
$$

**Respuesta Final:**

La probabilidad es $$1.0000$$.
La probabilidad de que la proporción de estudiantes que fuman en la muestra sea menor que 0.53 es 1.0000.

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