1. Calcular los siguientes límites: \( \begin{array}{ll}\text { a) } \lim _{x \rightarrow 0} \frac{e^{2 x}-2 x-1}{\cos (x)-1} & \text { b) } \lim _{x \rightarrow 1^{-}} \frac{5|x-1|}{x^{2}-1}\end{array} \)

Para el límite \( \lim _{x \rightarrow 0} \frac{e^{2 x}-2 x-1}{\cos (x)-1} \), comenzamos usando la serie de Taylor para \( e^{2x} \) y \( \cos(x) \). La expansión de \( e^{2x} \) alrededor de 0 es \( 1 + 2x + \frac{(2x)^2}{2} + \cdots \) y para \( \cos(x) \) es \( 1 - \frac{x^2}{2} + \cdots \). Al reemplazar y simplificar, nos queda \(\lim_{x \to 0} \frac{2x^2}{-\frac{x^2}{2}} = -8\). Para el límite \( \lim _{x \rightarrow 1^{-}} \frac{5|x-1|}{x^{2}-1} \), notamos que cuando \( x \) se aproxima a 1 desde la izquierda, \( |x-1| = 1-x \). Así que podemos escribir \( \frac{5(1-x)}{(x-1)(x+1)} = \frac{-5}{x+1} \). Por lo tanto, al tomar el límite cuando \( x \) se aproxima a 1, tenemos \( \frac{-5}{2} \).