Вариант 20 1. Найти производные следующих функций (уровень I): 1.1. $$ \quad y=\frac{3}{x}+\operatorname{tg} x-4 x^{4}+2 $$; 1.2. $$ y=\sqrt[3]{x+1} \cdot \operatorname{arctg} \sqrt{x} ; $$ 1.3. $$ y=\frac{\cos \left(3 x^{2}-1\right)}{2 x^{3}} ; $$ 1.4. $$ y=\sin ^{3} 2 x \cdot \cos ^{2} 3 x $$ 1.5. $$ y=5^{\frac{1+e^{-2 x+3}}{\ln ^{2} 3 x}} $$

Question

UpStudy AI · Accepted Answer

Давайте найдем производные указанных функций по очереди.

### 1.1. $$ y=\frac{3}{x}+\operatorname{tg} x-4 x^{4}+2 $$

Для нахождения производной используем правила дифференцирования:

1. Производная $$ \frac{3}{x} $$ равна $$ -\frac{3}{x^2} $$.
2. Производная $$ \operatorname{tg} x $$ равна $$ \operatorname{sec}^2 x $$.
3. Производная $$ -4 x^{4} $$ равна $$ -16 x^{3} $$.
4. Производная константы $$ 2 $$ равна $$ 0 $$.

Таким образом, производная функции:

$$
y' = -\frac{3}{x^2} + \operatorname{sec}^2 x - 16 x^{3}
$$

### 1.2. $$ y=\sqrt[3]{x+1} \cdot \operatorname{arctg} \sqrt{x} $$

Здесь применим правило произведения:

$$
y' = u'v + uv'
$$

где $$ u = \sqrt[3]{x+1} $$ и $$ v = \operatorname{arctg} \sqrt{x} $$.

1. $$ u' = \frac{1}{3}(x+1)^{-\frac{2}{3}} $$
2. $$ v' = \frac{1}{1+x} \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} = \frac{1}{2\sqrt{x}(1+x)} $$

Теперь подставим:

$$
y' = \frac{1}{3}(x+1)^{-\frac{2}{3}} \cdot \operatorname{arctg} \sqrt{x} + \sqrt[3]{x+1} \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}(1+x)}
$$

### 1.3. $$ y=\frac{\cos \left(3 x^{2}-1\right)}{2 x^{3}} $$

Используем правило деления:

$$
y' = \frac{v u' - u v'}{v^2}
$$

где $$ u = \cos(3x^2 - 1) $$ и $$ v = 2x^3 $$.

1. $$ u' = -\sin(3x^2 - 1) \cdot 6x $$
2. $$ v' = 6x^2 $$

Теперь подставим:

$$
y' = \frac{2x^3 \cdot (-\sin(3x^2 - 1) \cdot 6x) - \cos(3x^2 - 1) \cdot 6x^2}{(2x^3)^2}
$$

### 1.4. $$ y=\sin ^{3} 2 x \cdot \cos ^{2} 3 x $$

Используем правило произведения:

$$
y' = u'v + uv'
$$

где $$ u = \sin^3(2x) $$ и $$ v = \cos^2(3x) $$.

1. $$ u' = 3\sin^2(2x) \cdot \cos(2x) \cdot 2 = 6\sin^2(2x) \cdot \cos(2x) $$
2. $$ v' = -2\cos(3x) \cdot \sin(3x) \cdot 3 = -6\cos(3x) \cdot \sin(3x) $$

Теперь подставим:

$$
y' = 6\sin^2(2x) \cdot \cos(2x) \cdot \cos^2(3x) + \sin^3(2x) \cdot (-6\cos(3x) \cdot \sin(3x))
$$

### 1.5. $$ y=5^{\frac{1+e^{-2 x+3}}{\ln ^{2} 3 x}} $$

Для этой функции используем правило дифференцирования сложной функции и логарифмическое дифференцирование:

$$
y' = y \cdot \left( \frac{d}{dx} \left( \frac{1+e^{-2x+3}}{\ln^2(3x)} \right) \cdot \ln(5) \right)
$$

Найдём производную:

1. Применим правило частного для $$ \frac{1+e^{-2x+3}}{\ln^2(3x)} $$.

Теперь подставим:

$$
y' = 5^{\frac{1+e^{-2 x+3}}{\ln ^{2} 3 x}} \cdot \left( \frac{(\ln^2(3x))' \cdot (1+e^{-2x+3}) - (1+e^{-2x+3})' \cdot \ln^2(3x)}{\ln^4(3x)} \right) \cdot \ln(5)
$$

Теперь у нас есть производные всех функций. Если вам нужно больше деталей по какой-либо из них, дайте знать!
1.1. $$ y' = -\frac{3}{x^2} + \operatorname{sec}^2 x - 16 x^{3} $$ 1.2. $$ y' = \frac{1}{3}(x+1)^{-\frac{2}{3}} \cdot \operatorname{arctg} \sqrt{x} + \sqrt[3]{x+1} \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}(1+x)} $$ 1.3. $$ y' = \frac{2x^3 \cdot (-\sin(3x^2 - 1) \cdot 6x) - \cos(3x^2 - 1) \cdot 6x^2}{(2x^3)^2} $$ 1.4. $$ y' = 6\sin^2(2x) \cdot \cos(2x) \cdot \cos^2(3x) + \sin^3(2x) \cdot (-6\cos(3x) \cdot \sin(3x)) $$ 1.5. $$ y' = 5^{\frac{1+e^{-2 x+3}}{\ln ^{2} 3 x}} \cdot \left( \frac{(\ln^2(3x))' \cdot (1+e^{-2x+3}) - (1+e^{-2x+3})' \cdot \ln^2(3x)}{\ln^4(3x)} \right) \cdot \ln(5) $$

Upstudy AI Solution

Answer

Solution

The Deep Dive

Related Questions

Latest Calculus Questions