11. Se quiere subir un cuerpo de 200 kg por un plano inclinado $$ 30^{\circ} $$ con la horizontal. Si el coeficiente de rozamiento entre el cuerpo y el plano es 0.5 , Realiza el Diagrama de Cuerpo Libre. calcular: a) El valor de la fuerza de rozamiento. b) La fuerza que deberia aplicarse al cuerpo para que ascendiera por el plano a velocidad constante.

Question

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**Diagrama de Cuerpo Libre**

Consideramos las siguientes fuerzas que actúan sobre el cuerpo:

- El peso: $$ \vec{P} = m\,g $$, que actúa verticalmente hacia abajo.
- La fuerza normal: $$ \vec{N} $$, que actúa perpendicular al plano inclinado.
- La fuerza de rozamiento: $$ \vec{f}_r $$, que actúa paralela al plano y se opone al movimiento (en este caso, hacia abajo).
- La fuerza aplicada: $$ \vec{F} $$, que se aplicará a lo largo del plano hacia arriba para mover el cuerpo.

El peso se descompone en dos componentes:
1. Componente paralelo al plano:  
   $$
   P_{\parallel} = m\,g\,\sin\theta
   $$
2. Componente perpendicular al plano:  
   $$
   P_{\perp} = m\,g\,\cos\theta
   $$
  
La fuerza normal equivale en magnitud a $$ P_{\perp} $$:
$$
N = m\,g\,\cos\theta
$$

La fuerza de rozamiento se calcula como:
$$
f_r = \mu\,N = \mu\,m\,g\,\cos\theta
$$

---

**Datos del Problema**

- Masa: $$ m = 200\, \text{kg} $$
- Ángulo del plano: $$ \theta = 30^\circ $$
- Coeficiente de rozamiento: $$ \mu = 0.5 $$
- Aceleración de la gravedad: $$ g = 9.8\, \text{m/s}^2 $$

---

**a) Cálculo de la Fuerza de Rozamiento**

Utilizamos la fórmula:
$$
f_r = \mu\,m\,g\,\cos\theta
$$

Sustituyendo los valores:
$$
f_r = 0.5 \times 200 \times 9.8 \times \cos(30^\circ)
$$

Recordando que:
$$
\cos(30^\circ) \approx 0.866
$$

Procedemos al cálculo:
$$
f_r = 0.5 \times 200 \times 9.8 \times 0.866
$$
$$
f_r = 100 \times 9.8 \times 0.866
$$
$$
f_r \approx 100 \times 8.4868
$$
$$
f_r \approx 848.68\, \text{N}
$$

Por lo tanto, la fuerza de rozamiento es aproximadamente:
$$
\boxed{848.7\, \text{N}}
$$

---

**b) Cálculo de la Fuerza Aplicada para Ascender a Velocidad Constante**

Para que el cuerpo ascienda a velocidad constante, la suma de las fuerzas en la dirección del plano debe ser cero (equilibrio dinámico). Esto implica que la fuerza aplicada $$ F $$ debe contrarrestar tanto la componente del peso paralela al plano como la fuerza de rozamiento.

La componente del peso a lo largo del plano es:
$$
P_{\parallel} = m\,g\,\sin\theta
$$

Sustituyendo los valores:
$$
P_{\parallel} = 200 \times 9.8 \times \sin(30^\circ)
$$
Como:
$$
\sin(30^\circ) = 0.5,
$$
entonces:
$$
P_{\parallel} = 200 \times 9.8 \times 0.5 = 980\, \text{N}
$$

La fuerza aplicada debe superar ambas fuerzas:
$$
F = P_{\parallel} + f_r
$$
$$
F = 980 + 848.68 \approx 1828.68\, \text{N}
$$

Por lo tanto, la fuerza que debe aplicarse es aproximadamente:
$$
\boxed{1829\, \text{N}}
$$

---

**Resumen de Respuestas**

- a) La fuerza de rozamiento es:
  $$
  f_r \approx 848.7\, \text{N}
  $$

- b) La fuerza aplicada para mover el cuerpo a velocidad constante es:
  $$
  F \approx 1829\, \text{N}
  $$
**Diagrama de Cuerpo Libre** Las fuerzas actuando sobre el cuerpo son: - Peso ($$ \vec{P} $$): $$ 200\, \text{kg} \times 9.8\, \text{m/s}^2 = 1960\, \text{N} $$ hacia abajo. - Fuerza normal ($$ \vec{N} $$): $$ 1960\, \text{N} \times \cos(30^\circ) \approx 1697.6\, \text{N} $$ perpendicular al plano. - Fuerza de rozamiento ($$ \vec{f}_r $$): $$ 0.5 \times 1697.6\, \text{N} \approx 848.8\, \text{N} $$ hacia abajo. - Fuerza aplicada ($$ \vec{F} $$): $$ 1829\, \text{N} $$ hacia arriba. **Respuestas:** a) La fuerza de rozamiento es **848.8 N**. b) La fuerza que debe aplicarse es **1829 N** para que el cuerpo ascenda a velocidad constante.

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