7. (Eseg) Lembrando que \( \cos (a-b)=\cos a \cdot \cos b \) + sen \( a \cdot \operatorname{sen} b \), se \( \cos \left(x-45^{\circ}\right)=2 \sqrt{2} \cos x \), então tg \( x \) é igual \( a: \) \( \begin{array}{llll}\text { a) } \frac{1}{3} & \text { b) } \frac{1}{2} & \text { c) } 1 & \text { d) } 2\end{array} \)

Vamos resolver a equação \( \cos (x-45^{\circ})=2 \sqrt{2} \cos x \) usando a fórmula dada. A fórmula se expande como segue: \[ \cos (x-45^{\circ}) = \cos x \cdot \cos 45^{\circ} + \sen x \cdot \sen 45^{\circ} \] Substituindo os valores de \( \cos 45^{\circ} \) e \( \sen 45^{\circ} \) que são \( \frac{\sqrt{2}}{2} \): \[ \cos (x-45^{\circ}) = \cos x \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \sen x \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \] Igualando a equação que nos foi dada: \[ \cos x \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \sen x \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 2 \sqrt{2} \cos x \] Multiplicando todos os termos por \( 2 \): \[ \sqrt{2} \cos x + \sqrt{2} \sen x = 4 \cos x \] Rearranjando os termos: \[ \sqrt{2} \sen x = 4 \cos x - \sqrt{2} \cos x \] \[ \sqrt{2} \sen x = (4 - \sqrt{2}) \cos x \] Sabemos que \( \tan x = \frac{\sen x}{\cos x} \), então podemos substituir \( \sen x \): \[ \tan x = \frac{(4 - \sqrt{2})}{\sqrt{2}} \] Isso é igual a: \[ \tan x = \frac{4 - \sqrt{2}}{\sqrt{2}} \approx 1.586 \] Assim, a resposta para as opções que foram fornecidas é: A opção mais próxima é \( d) 2 \).