4. \( 20 y^{2}+y-1 \)

Para resolver la expresión \( 20y^{2} + y - 1 \), podemos factorizarla o simplificarla si es posible. Vamos a intentar factorizarla. 1. **Identificar los coeficientes**: - \( a = 20 \) (coeficiente de \( y^{2} \)) - \( b = 1 \) (coeficiente de \( y \)) - \( c = -1 \) (término constante) 2. **Calcular el discriminante**: El discriminante \( D \) se calcula como \( D = b^{2} - 4ac \). \[ D = 1^{2} - 4 \cdot 20 \cdot (-1) = 1 + 80 = 81 \] 3. **Verificar si el discriminante es positivo**: Dado que \( D = 81 \) es positivo, esto significa que la ecuación tiene dos soluciones reales. 4. **Calcular las raíces usando la fórmula cuadrática**: Las raíces se pueden encontrar usando la fórmula: \[ y = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \] Sustituyendo los valores: \[ y = \frac{-1 \pm \sqrt{81}}{2 \cdot 20} = \frac{-1 \pm 9}{40} \] 5. **Calcular las dos soluciones**: - Para \( y_1 \): \[ y_1 = \frac{-1 + 9}{40} = \frac{8}{40} = \frac{1}{5} \] - Para \( y_2 \): \[ y_2 = \frac{-1 - 9}{40} = \frac{-10}{40} = -\frac{1}{4} \] 6. **Conclusión**: Las soluciones de la ecuación \( 20y^{2} + y - 1 = 0 \) son: \[ y = \frac{1}{5} \quad \text{y} \quad y = -\frac{1}{4} \]