2. (5 puntos) Si la función de costo marginal para la producción es $$ y^{\prime}=2+60 x-5 x^{2} $$ Si el costo fijo es U\$65. Hallar la función costo total y costo promedio.

Question

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**Paso 1. Encontrar la función de costo total**

Se conoce que la función costo marginal es la derivada de la función de costo total, es decir:

$$
y'(x)=\frac{dC(x)}{dx}=2+60x-5x^2
$$

Para obtener $$ C(x) $$ se integra la función de costo marginal. Además, se cumple que el costo fijo es $$ C(0)=65 $$. Entonces:

$$
C(x) = C(0) + \int_{0}^{x} (2+60t-5t^2) \, dt = 65 + \int_{0}^{x} (2+60t-5t^2) \, dt
$$

Realizamos la integración término a término:

- $$\displaystyle \int_{0}^{x} 2 \, dt = 2x$$
- $$\displaystyle \int_{0}^{x} 60t \, dt = 60 \cdot \frac{t^2}{2}\Big|_{0}^{x} = 30x^2$$
- $$\displaystyle \int_{0}^{x} -5t^2\, dt = -5 \cdot \frac{t^3}{3}\Big|_{0}^{x} = -\frac{5}{3}x^3$$

Por lo tanto, la función costo total es:

$$
C(x)=65+2x+30x^2-\frac{5}{3}x^3
$$

---

**Paso 2. Encontrar la función de costo promedio**

La función de costo promedio se define como el costo total dividido entre la cantidad producida $$ x $$:

$$
\bar{C}(x)=\frac{C(x)}{x} \quad \text{(para } x>0 \text{)}
$$

Sustituyendo $$ C(x) $$:

$$
\bar{C}(x)=\frac{65+2x+30x^2-\frac{5}{3}x^3}{x}
$$

Simplificando dividiendo cada término entre $$ x $$:

$$
\bar{C}(x)=\frac{65}{x}+2+30x-\frac{5}{3}x^2
$$

---

**Respuesta Final**

La función de costo total es:

$$
C(x)=65+2x+30x^2-\frac{5}{3}x^3
$$

Y la función de costo promedio es:

$$
\bar{C}(x)=\frac{65}{x}+2+30x-\frac{5}{3}x^2
$$
La función de costo total es $$ C(x) = 65 + 2x + 30x^2 - \frac{5}{3}x^3 $$ y la función de costo promedio es $$ \bar{C}(x) = \frac{65}{x} + 2 + 30x - \frac{5}{3}x^2 $$.

2. (5 puntos) Si la función de costo marginal para la producción es \[ y^{\prime}=2+60 x-5 x^{2} \] Si el costo fijo es U\$65. Hallar la función costo total y costo promedio.

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